Cuando dos conexiones de determinan las geodésicas de la misma

Question

Es mi primera pregunta! Espero que formatear correctamente.

Estoy tratando de probar que los dos conexiones de $\nabla, \widetilde{\nabla}$ en un colector de determinar el mismo geodesics iff su diferencia tensor es alterna. La diferencia tensor de dos conexiones es el tensor $D(X,Y) = \widetilde{\nabla}_XY - \nabla_XY$, por lo que esto está diciendo que la geodesics son los mismos para las dos conexiones iff $D(X,Y) = -D(Y,X)$ para todos los campos vectoriales $X, Y$$M$.

Desde $D$ es un tensor puede ser escrita como una suma de sus simétrica y la alternancia de partes, $D = S + A$. Desde $A(X,X) \equiv 0$ tenemos $D(X,X) = S(X,X)$. Así que si $S(X,X) = 0$, también lo $D(X,X)$, y si $D(X,X)$ siempre $0$, $$ D(X+Y,X+Y) =S(X+Y, X+Y) = S(X,X) + S(Y,Y) + 2S(X,Y) = 2S(X,Y)$$

A continuación,$S(X,Y) \equiv 0$. Eso es suficiente para comprobar que tiene el mismo geodesics es el mismo que $D(X,X) \equiv 0$. Esta observación fue hecha en Spivak Vol. II Ch. 6, Anexo 1, pero su prueba de que esta última condición es equivalente a la de las conexiones de tener el mismo geodesics no tiene sentido para mí.

¿Alguien sabe cómo mostrar que si las conexiones tienen la misma geodesics entonces la diferencia tensor es $0$ en la diagonal? Esa es la dirección que estoy atascado en.

Answer 1

Suponga que el tensor $D$ se desvanece. Deje $\alpha$ ser una geodésica con respecto a una de las conexiones, decir $\nabla$. Entonces $$\nabla_TT\equiv 0$$where $T=\dot \alpha$. Using the identity $D\equiv 0$, we get $$\bar\nabla_TT=0$$ i.e. the connection $\bar\nabla$ tiene el mismo geodésica.
Por el contrario, asumimos que $\nabla$ $\bar\nabla$ tienen el mismo geodesics. Deje $X$ ser cualquier campo vectorial. Vamos a probar que $D$ se desvanece punto de sabio. Deje $p\in M$ con nbd $U$ y deje $\gamma$ ser la geodésica con $\gamma(0)=p,\dot\gamma(0)=X_p$(ODE garantiza que existe un único tal geodésica), entonces $$D(X_p,X_p)=(\nabla_XX-\bar\nabla_XX)_p=0$$i.e. $D$ vanishes at $p$ y, en consecuencia, en cada punto.