¿Cuál es el enunciado correcto de la ley de asociatividad infinita?

Question

Dejemos que $X$ denotan un conjunto no vacío. Escriba $\mathcal{L}$ para la clase de todos los pares ordenados $(L,f)$ donde:

1. $L$ es un poset lineal (posiblemente vacío), y
2. $f$ es una función arbitraria $L \rightarrow X.$

Entonces $\mathcal{L}$ forma un "monoide completo". Lo que quiero decir con esto es que, en primer lugar, podemos tomar productos de infinitos elementos. En particular, para cualquier poset lineal $I$ y cualquier familia $\lambda:I \rightarrow\mathcal{L}$ , escriba $\prod_{i \in I} \lambda_i$ para la concatenación de todos los $\lambda_i$ en el orden determinado por $\lambda$ y $I$ . En segundo lugar, los productos (posiblemente) infinitos satisfacen claramente algún tipo de ley de asociatividad infinita. Debería ser de la forma

$$\prod_{i \in I}\prod_{j \in J(i)}(\lambda_i)_j = \prod_{\mathrm{something}}\mathrm{something}$$

Dónde:

1. $I$ es un poset lineal arbitrario
2. $J(i)$ es un poset lineal que depende de $i \in I$
3. $(\lambda_i)_j$ es un elemento de $\cal L$ depende de $i \in I$ y $j \in J(i)$ .

De todos modos, tengo problemas para escribir correctamente esta ley.

Pregunta. ¿Cuál es el enunciado correcto de la ley de asociatividad infinita?

Answer 1

Definamos la suma ordenada de una familia de posets.

La suma ordenada de dicha familia $J = \{J(i)\}_{i \in I}$ que denotaré por $\bigoplus J$ o $\bigoplus_{i \in I} J(i)$ es el poset cuyo conjunto subyacente es

$$\bigoplus_{i \in I}J(i) = \{(i ,j)\mid i \in I \text{ and } j \in J(i)\}$$

y cuyo ordenamiento $\le_{\oplus J}$ se define lexicográficamente de forma que

$$(i, j) \le_{\bigoplus J} (k, l) \iff (i <_I k) \text{ or } (i = k \text{ and } j \le_{J(i)} l) $$

Cuando $I$ es un poset lineal y cuando cada $J(i)$ es un poset lineal, es posible verificar que $\bigoplus J$ es un poset lineal. En este caso,

$$\prod_{i \in I}\prod_{j \in J(i)} (\lambda_i)_j = \prod_{(i, j) \in \bigoplus J} (\lambda_i)_j$$

Editar:

Tenga en cuenta que el conjunto subyacente de $\bigoplus J$ es el conjunto coproducto de los conjuntos subyacentes de cada $J(i)$ . Sin embargo, $\bigoplus J$ es no un coproducto de poste de cada $J(i)$ .