¿Qué es tan interesante sobre los ceros de la función de Riemann $\zeta$?

Question

La Riemann $\zeta$ función juega un papel importante en la teoría de números, y se define por $$\zeta(s) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^s} \qquad \text{ for } s > 1 \text{ and } s= \sigma + it$$

La hipótesis de Riemann afirma que todos los no-trivial de los ceros de la $\zeta$ función de mentira en la línea $\text{Re}(s) = \frac{1}{2}$.

Mi pregunta es:

¿Por qué estamos interesados en los ceros de la $\zeta$ función? Da ninguna información acerca de algo?

¿Cuál es el uso de la escritura $$\zeta(s) = \prod_{p} \biggl(1-\frac{1}{p^s}\biggr)^{-1}$$

Answer 1

Respuesta corta: la Comprensión de la distribución de los números primos es directamente relacionados con la comprensión de los ceros de la de Riemann Zeta Función.**

Respuesta larga: El primer conteo de la función se define como: $\pi(x)=\sum_{p\leq x} 1,$ que es el número de números primos menos de $x$. Generalmente consideramos que su ponderado de modificación de $$\psi(x)=\sum_{p^{m}\leq x}\log p$$ where we are also counting the prime powers. It is not hard to show that $$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log x}\left(1+O\left(\frac{1}{\log x}\right)\right),$$ which means that these two functions differ by about a factor of $\log x$.

El primer número teorema establece que $\psi(x)\sim x$, pero esto es muy difícil de demostrar. Primero fue conjeturado por Legendre en 1797, pero tardó casi 100 años para demostrar, que finalmente se resolvió en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin. En 1859 Riemann esbozó una prueba, y le dio una notable identidad que cambiar lo que la gente pensaba sobre el recuento de los números primos. Él mostró que (más o menos) $$\psi(x)=x-\sum_{\rho:\zeta(\rho)=0}\frac{x^{\rho}}{\rho}-\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)},$$ where the sum is taken over all the zeros of the zeta function. ${}^{++}$

Aviso que esto es una igualdad. El lado izquierdo es una función de paso, y en el lado derecho, de alguna manera, los ceros de la función zeta de conspirar en exactamente los números primos para hacer que la suma de salto. (Es una serie infinita de modo que la convergencia no es uniforme) Si usted recuerda solo 1 cosa a partir de esta respuesta, que es por encima de fórmula explícita.

Una equivalencia de RH: los métodos Actuales nos permiten demostrar que $$\psi(x)=x+O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right).$$ This error term decreases faster then $\frac{x}{(\log x)^A}$ for any $A$, but increases faster then $x^{1-\delta}$ for any small $\delta>0$. In particular, proving that the error term was of the form $O\left(x^{1-\delta}\right)$ for some $\delta>0$ would be an enormous breakthrough. The Riemann Hypothesis is equivalent to showing the error term is like square root $x$, that is proving the statement $$\psi(x)=x+O\left(x^{\frac{1}{2}}\log^{2}x\right).$$ En otras palabras, la Hipótesis de Riemann es equivalente a la mejora del término de error en el cálculo de los números primos.

Comentario: En su pregunta incorrectamente el estado de la Hipótesis de Riemann, que dice que todos los ceros tienen parte real $\frac{1}{2}$. El hecho de que un número infinito de ceros mentira en la línea que se muestra por Hardy en 1917, y en 1942 Selberg mostró que un positivo proporción de la mentira en la línea. En 1974 Levinson mostró que esta proporción fue de al menos $\frac{1}{3}$, y Conrey 1989 mejorado este a $\frac{2}{5}$.

** Por supuesto, puede haber algunas personas que están interesadas en los ceros de la función zeta por otras razones. Históricamente, los números primos son lo primero motivado el estudio de los ceros.

${}^{++}$: Por lo general el trivial ceros serán separadas de la suma, pero no hago esta distinción aquí. También, Riemann original del papel de los estados de cosas en términos de$\Pi(x)$$\text{li}(x)$, la de Riemann función pi y logarítmica integral, en lugar de $\psi(x)$. Esta es una muy leve diferencia, y yo uso $\psi(x)$ anterior, porque es más fácil y más limpio para hacerlo.

Ver también: ¿por Qué es $\zeta(1+it) \neq 0$ equivalente al teorema de los números primos?

Answer 2

El interés inicial en los ceros es su relación con la distribución de los números primos, que a menudo se hace a través de asintótica declaraciones acerca de la primer función de conteo. En la teoría analítica de números, es la tarifa estándar para tener una función aritmética se define por una suma de fórmula y, a continuación, modificar en una forma que es más fácil de manipular y obtener resultados, de tal manera que la asintótica de los resultados acerca de la modificación de la función puede ser traducido en resultados sobre la función original muy fácilmente. Este es ciertamente el caso de la $\pi(x)$, que es por qué menciono esto. La mayoría de la información que es relevante aquí puede encontrar en la fórmula Explícita artículo en la Wikipedia, para explícita fórmulas para el $\pi(x)$ función usando los ceros de la de Riemann zeta función. Dos aspectos fundamentales:

$(1)$ "Esta fórmula dice que los ceros de la de Riemann zeta función de control de las oscilaciones de los números primos en torno a su "espera " posiciones".

$(2)$ "En líneas generales, la explícita fórmula dice que la transformada de Fourier de los ceros de la función zeta es el conjunto de primer poderes, además de algunos primaria factores".

Con los conceptos muy básicos de los números complejos podemos ver que $x^\rho$, como una función de la $x$, tiene una magnitud dada por $x^{\Re (\rho)}$ y el argumento por $\Im(\rho)\cdot\log x$. El imaginario de las piezas, así, contribuir comportamiento oscilatorio a la explícita fórmulas, mientras que las partes reales de decir que imaginaria dominar sobre los demás y por cuánto - este es el significado detrás de la "transformada de Fourier" descripción. De hecho, dada la dominante plazo en una asíntota para $\pi$ tenemos casi los números primos' "espera posiciones" (estamos tomando algunas de licencia, en referencia a la posición cuando en realidad estamos hablando de la distribución en el límite), y el exterior términos se habla de lo mucho $\pi$ se desvía de la esperada dominante plazo como tomamos $x$ más alto y más alto en valor. Si una de las partes se diferenció de los otros, es privilegio de algunos desviación por encima de los demás, cambiando nuestro punto de vista de la regularidad en el de los números primos' de distribución.

Finalmente, también se hizo claro que más y más resultados en la teoría de los números - incluso muy accesible resultados que desmienten la profundidad de la Hipótesis de Riemann realmente ha llegado a ser - fueron equivalentes o sólo podría ser probada en el supuesto de RH. Véase, por ejemplo, aquí o aquí o aquí. No estoy seguro si realmente lista completa de las consecuencias o equivalencias en realidad existe!

Por otra parte es claro ahora que RH no es un fenómeno aislado, y en su lugar existe como una pieza de un rompecabezas mucho más grande (al menos como yo lo veo). El $\zeta$ función es un caso trivial de un Dirichlet $L$-función , así como un caso de un caso trivial de un Dedekind $\zeta$ función, y no es, respectivamente, un Generalizado de la Hipótesis de Riemann (GRH) y Extendida Hipótesis de Riemann para estos dos más general de las clases de funciones. Hay numerosos análogos a los zeta de la función y la humedad relativa demasiado - muchos de ellos ya han ganado más terreno o ya tenían el análogo RH probado!

Ahora se preguntaba qué la definición adecuada de un $L$-función "debe" ser, es decir, moralmente hablando, específicamente, debe tener algunas características analíticas y, por supuesto, de un funcional de la ecuación con una reflexión, la función gamma, peso, conductor, etc. pero la precisa receta necesitamos crear una mancha de la teoría no es aún conocida. (Descargo de responsabilidad: este párrafo proviene de la memoria de la lectura de algo que hace mucho tiempo que no puedo averiguar cómo encontrar de nuevo. Derp.)

Por último, existe la interpretación espectral de la zeta ceros a la que ha surgido. No es la de Hilbert-Pólya conjetura. Como la entrada de la Wikipedia lo describe,

En una carta a Andrew Odlyzko, de fecha 3 de enero de 1982, George Pólya dijo que mientras estaba en Göttingen alrededor de 1912 a 1914 se le preguntó por Edmund Landau por una razón física que la hipótesis de Riemann debe ser cierto, y sugirió que esto podría ser el caso si la imaginaria de los ceros de la de Riemann zeta función corresponde a los valores propios de una desenfrenada auto adjunto del operador.

Esto ha estimulado mecánica cuántica aproximaciones a la Hipótesis de Riemann. Además, ahora tenemos graves evidencia empírica de una relación entre la zeta ceros y aleatoria de la teoría de la matriz, en concreto, su par de correlación coincide con la de Gauss Unitario Conjuntos (Pa)...

El año: 1972. La escena: el té de la Tarde en Fuld Hall en el Instituto para estudios Avanzados. La cámara gira alrededor de la Sala Común, pasando por varios Princetonians en tejidos de lana y pana, luego se amplía en Hugh Montgomery, juvenil Midwestern número teórico con las patillas. Él acaba de ser presentado a Freeman Dyson, apuesto físico Británico.

Dyson: Así que dime, Montgomery, ¿qué has estado haciendo?
Montgomery: Bueno, últimamente he estado buscando en la distribución de los ceros de la de Riemann zeta función.
Dyson: ¿Sí? Y?
Montgomery: parece Que los dos puntos de correlaciones ir como... (volviendo a escribir cerca de un pizarrón): $$1-\left(\frac{\sin\pi x}{\pi x}\right)^2$$
Dyson: Extraordinario! ¿Te das cuenta de que el par-función de correlación de los valores propios de una al azar Hermitian de la matriz?

(Fuente: El Espectro de Riemannium.)

Si tan inclinado, uno puede ver la evidencia empírica en fotos bonitas por ejemplo, aquí.

Answer 3

Aquí está una visual suplemento a Eric la respuesta, en base a este documento por Riesel y Göhl, y Mathematica código por Stan Vagón:

La animación muestra la eventual transformación de Riemann, el famoso aproximación a la primer función de conteo

$$R(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k} \mathrm{li}(\sqrt[k]{x})=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{(\log\,x)^k}{k\,k!\zeta(k+1)}$$

a la real el primer función de recuento $\pi(x)$, a través de una serie de sucesivas correcciones basadas en el trivial raíces de $\zeta(s)$. (Aquí, $\mu(k)$ es la función de Möbius y $\mathrm{li}(x)$ es la logarítmica integral.) Ver el Riesel/Göhl de papel para obtener más detalles.

Answer 4

el operador de HIlbert Polya que probaría la hipótesis de Riemann es el modelo de muelles de Wu genralzed con potencial

$$ f^{-1} (x)=\frac{4}{\sqrt{4x+1} } +\frac{1}{4\pi } \int\nolimits_{-\sqrt{x} }^{\sqrt{x}}\frac{dr}{\sqrt{x-r^2} } \left( \frac{\Gamma '}{\Gamma } \left( \frac{1}{4} +\frac{ir}{2} \right) -\ln \pi \right) -\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\Lambda (n)}{\sqrt{n} } J_0 \left( \sqrt{x} \ln n\right) $$

con condiciones de límite $$ y(0)=0=y(\infty) $$ and $ H = - \frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}} y (x) + f (x) y (x) = E_ {n} $...................$ E_ {n} = \gamma_ {n} ^ {2} $·

sin embargo matemático no gusta, si tomamos el medio derivado, entonces nos encontramos con la fórmula de Riemann-Weil distribución de los ceros

$$\begin{array}{l} \sum\limits_{n=0}^{\infty }\delta \left( x-\gamma _{n} \right) + \sum\limits_{n=0}^{\infty }\delta \left( x+\gamma _{n} \right) =\frac{1}{2\pi } \frac{\zeta }{\zeta } \left( \frac{1}{2} +ix\right) +\frac{1}{2\pi } \frac{\zeta '}{\zeta } \left( \frac{1}{2} -ix\right) -\frac{\ln \pi }{2\pi } \\[10pt] {} +\frac{\Gamma '}{\Gamma } \left( \frac{1}{4} +i\frac{x}{2} \right) \frac{1}{4\pi } +\frac{\Gamma '}{\Gamma } \left( \frac{1}{4} -i\frac{x}{2} \right) \frac{1}{4\pi } +\frac{1}{\pi } \delta \left( x-\frac{i}{2} \right) +\frac{1}{\pi } \delta \left( x+\frac{i}{2} \right) \end{matriz} $$

Answer 5

RH tiene una influencia directa sobre el caos cuántico oscilador. Invertida caótico cuántica oscilador tiene eigen-energías igual imaginaria de la zeta de riemann no trivial raíces, siempre RH es correcta. Uno puede referirse a http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry154.pdf para empezar. Lineal cuántica caótico oscilador de ser un objeto fundamental para una teoría cuántica en general, tales como, por ejemplo, lineal armónico cuántico oscilador es, uno es llevado a concluir por lo tanto que RH juega un papel importante en el avance en esta región.

Saludos.