Cómo simplificar $\frac{4 + 2\sqrt6}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}$ ?

Question

Estaba revisando un libro de prácticas de olimpiada cuando vi uno de estos problemas:

Si $x = 5 + 2\sqrt6$ , evalúe $\Large{x \ - \ 1 \over\sqrt{x}}$ ?

La respuesta escrita es $2\sqrt2$ pero no puedo encontrar la manera de salir de las manipulaciones. Sólo sé que tengo lo siguiente: $${4+ 2\sqrt6} \over {\sqrt{5 + 2\sqrt6}}$$

Answer 1

Sugerencia $\ \ $ Elevando al cuadrado, obtenemos $\ \rm\dfrac{40+16\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}\, =\, 8$

Nota: $\ \ $ Generalmente $\rm\ \ \dfrac{ n\!-\!1 + \sqrt{n^2\!-\!1}}{ \sqrt{ n\ +\ \sqrt{n^2\!-\!1}}}\, =\, \sqrt{2(n\!-\!1)}\ $ para $\rm\: n\ge 1,\:$ con una prueba análoga.

Para otro ejemplo, anote $\, \dfrac{\quad\ 3 + \sqrt{11}}{\sqrt{10+ \sqrt{99}}}\, =\, \sqrt{2},\ $ por $\rm\:n = 10\:$ arriba.

Answer 2

Comienza multiplicando el numerador y el denominador de $${4+ 2\sqrt6} \over {\sqrt{5 + 2\sqrt6}}$$ por $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ .

Entonces el denominador se evalúa muy bien a 1. Entonces es mucho más una cuestión de simplificar el numerador.

Más sencillo aún , elevar al cuadrado la expresión, simplificar y luego sacar la raíz cuadrada del resultado.

Answer 3

Una pista: Tenga en cuenta que, como $2+3=5$ y $2\cdot 3=6$ tenemos que $x=5+2\sqrt6=(\sqrt2+\sqrt3)^2$ . Y que el numerador $=2\sqrt2\cdot (\sqrt2+\sqrt3)$ .

Answer 4

Cuando se conoce la respuesta, a menudo es más fácil...

De hecho, empieza con $(x-1)/\sqrt{x} = 2\sqrt{2}$

Equivale a $x-1 = 2\sqrt{2x}$

Equivalente a $(x-1)^2 = 8x$

Equivalente a $x^2-2x+1 = 8x$

Equivalente a $x^2-10x+1 = 0$

Equivalente a $(x-a)(x-b) = 0$ donde $a = 5+2\sqrt{6}$ y $b = 5-2\sqrt{6}$

Equivalente a { $x=a$ o $x=b$ }

Por supuesto, como se trata de equivalencias, esto basta para demostrar el hecho. Sin embargo, si se quiere escribir de forma más sencilla, basta con volver del final al principio:

Dejemos que $x = 5+2\sqrt{6}$ . Entonces $(x-(5+2\sqrt{6})(x-(5-2\sqrt{6}))=0$ . Pero este producto puede ampliarse como $x^2-10x+1$ . Por lo tanto, tenemos $x^2+1 = 10x$ . En este punto, puedes generar varias identidades. Por ejemplo, podría concluir $x^2+2x+1 = 12x$ . Por lo tanto, $(x+1)^2=12x$ y $x+1 = 2\sqrt{3x}$ y así $(x+1)/\sqrt{x} = 2\sqrt{3}$ ...

Answer 5

$$\frac{x-2}{\sqrt x}=\frac{4+ 2\sqrt6}{\sqrt{5 + 2\sqrt6}}=\frac{4+ 2\sqrt6}{\sqrt{5 + 2\sqrt6}}\cdot\frac{\sqrt{5-2\sqrt 6}}{\sqrt{5-2\sqrt 6}}=\left(4+2\sqrt 6\right)\sqrt{5-2\sqrt 6}\Longrightarrow$$

$$(x-2)^2=x(40+16\sqrt 6)(5-2\sqrt 6)=x(8)\Longrightarrow $$

$$x^2-12x+4=0\ldots...$$

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