¿Dónde entra la subjetividad?

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito con topología cofinita, y $f: X \to X$ una función suryectiva. Demostrar que $f$ es continua si y sólo si $f^{-1}(\{x\})$ es finito para todo $x\in X$ .

Sé que $f$ es esencial, de lo contrario $f$ La constante es continua, pero la imagen inversa de la constante es todo el espacio infinito.

$\implies :$ Supongamos que $f$ es continua. Dado $x\in X$ , $X\setminus \{x\}$ está abierto porque $\{x\}$ es finito. Por continuidad, $f^{-1}(X\setminus \{x\}) = X\setminus f^{-1}(\{x\})$ es abierto, por lo que el complemento $f^{-1}(\{x\})$ es finito.

$\impliedby :$ Supongamos que $f^{-1}(\{x\})$ es finito para todo $x\in X$ . Sea $\Omega$ ser abierto. Si $\Omega = \varnothing$ no hay nada que hacer. Por lo demás, $X\setminus \Omega$ es finito: $$X\setminus \Omega = \bigcup_{i=1}^n \{x_i\} \implies X\setminus f^{-1}(\Omega) = f^{-1}(X\setminus \Omega) = \bigcup_{i=1}^n f^{-1}(\{x_i\})$$ es una unión finita de conjuntos finitos, por lo tanto es finita. Así que $f^{-1}(\Omega)$ está abierto y $f$ es continua.

Pregunta: ¿Dónde he usado eso? $f$ es en? Si no es así, ¿dónde está el fallo de la prueba?

Answer 1

En la primera parte de su argumento, usted utiliza el hecho de que $X \setminus f^{-1}(\{x\})$ está abierto a implicar que $f^{-1}(\{x\})$ es finito. Esto supone implícitamente que $X \setminus f^{-1}(\{x\})$ es no vacía. Si $f$ se permite que sea una función constante (que no es onto), entonces esta suposición falla.

Answer 2

Recordemos que $f\colon X\to Y$ es continua si y sólo si la preimagen de un conjunto cerrado es cerrada. En la topología cofinita significa que la preimagen es finita, o el espacio entero.

Pero si $f^{-1}(\{x\})$ es cerrado, y es todo el espacio, entonces $f$ es constante. Por lo tanto, $f$ no puede ser sobre, ya que $X$ es infinito. Y, efectivamente, fíjate en que puedes cambiar la condición de la pregunta de "sobreyectiva" a "no-constante", y la prueba funcionará como lo hace.