Calcular el valor de límite infinito de $2^{-n^2}/\sum_{k=n+1}^\infty 2^{-k^2}$

Question

Cómo resolver el límite? $$\lim_{n \to \infty}\frac{2^{-n^2}}{\sum_{k=n+1}^\infty 2^{-k^2}}$$ Mi enfoque:- He utilizado logarítmica de prueba para probar el denominador de la suma de convergencia de la siguiente manera:- $$ \lim_{ k\to\infty}k\log \frac{u_n}{u_{n+1}}=\lim_{k\to \infty}k\log\frac{2^{-k^2}}{2^{-(k+1)^2}}=\lim_{k\to\infty}(k+2k^2)\log2=\infty$$ Así, la infinita suma diverge. El numerador término también diverge porque es un término de monótonamente disminución de la secuencia que no tiene límite inferior.
Así que en general la solución es $$\infty$$ Es mi intento de correcto o incorrecto?

Answer 1

De una manera diferente, $$\frac{2^{-n^2}}{\sum_{k=n+1}^\infty 2^{-k^2}}>\frac{2^{-n^2}}{\sum_{k=(n+1)^2}^\infty 2^{-k}}=\frac{2^{-n^2}}{2^{-(n+1)^2}\cdot2}=2^{-n^2+(n+1)^2-1}=2^{2n}$$ Por lo tanto diverge.

Answer 2

Desafortunadamente, el intento está seriamente equivocado. La secuencia de $2^{-n^2}$ es convergente con límite cero ($0$ es un claro límite inferior). Asimismo, la suma de $\sum_{k = n + 1}^{\infty} 2^{-n^2}$ es convergente, por ejemplo, la comparación de una serie geométrica. De hecho, tanto en el numerador y denominador tienden a cero. Por último, incluso si sus dos primeras conclusiones eran correctas, su conclusión final no se derivan de ellos.

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Para un enfoque diferente, tenga en cuenta que el denominador puede ser estimado por

$$\sum_{k = n + 1}^{\infty} 2^{-k^2} \approx 2^{-n^2 - 2n}$$ y por lo que su secuencia es acotado abajo por algo como

$$\frac{2^{-n^2}}{2^{-n^2 - 2n}} = 2^{2n}$$