Posible real positivo distinto $x,y,z \neq 1$ con $x^{(y^z)} = y^{(z^x)} = z^{(x^y)}$ en permutación cíclica?

Question

¿Podemos tener distintos reales positivos $x,y,z \neq 1$ con $$ x^{\left( y^z \right)} = y^{\left( z^x \right)} = z^{\left( x^y \right)} $$ en permutación cíclica?

No funciona bien si alguna variable es 1. Además, obviamente funciona si las tres son iguales. Creo que si dos son iguales, probablemente la tercera debe coincidir también. Si hay algo más, uno esperaría una curva de algún tipo..supongo que por lo que estoy preguntando, uno podría exigir $x < y < z.$ NO, no es lo mismo que $x < z < y$ como no equivalente cíclicamente, así que tal vez dejar de lado eso.

Sugerido por ¿cuál es el número más grande aquí?

Answer 1

Creo que lo he resuelto, pero no me fío. Así que por favor, salta y corrígeme si he hecho algo estúpido

A modo de contradicción, supongamos la igualdad $x^{(y^z)}=y^{(z^x)}=z^{(x^y)}$ se mantiene. Ahora definimos la función $f(y,z)= x^{(y^z)}- y^{(z^x)}$ . Por un lado, $f(y,z)$ es idénticamente cero, por lo que todos sus primeros parciales desaparecen. Por otro lado, podemos calcularlos formalmente como $$f_y=\frac{x^{(y^z)}zy^z\ln{x} -y^{(z^x)}z^x}{y}\quad \mbox{and} \quad f_z=\ln{y}\left(x^{(y^z)}y^z\ln{x}-y^{(z^x)}xz^{x-1}\right)$$ Poniendo cada uno de ellos a cero, y utilizando el hecho de que $x^{(y^z)}=y^{(z^x)}$ obtenemos $$zy^z\ln{x}=z^x\quad \mbox{and} \quad y^z\ln{x}=xz^{x-1}$$ A partir de aquí es bastante trivial demostrar que, o bien $z=0$ o $x=1$ pero cada una de estas posibilidades se descarta por hipótesis.

Obsérvese que en la prueba sólo he utilizado la hipótesis de que $x^{(y^z)}= y^{(z^x)}$ .

Answer 2

Es un problema interesante. Creo que te ha provocado el resfriado. Espero que ya estés totalmente recuperado.

Creo que nunca sucede.

En primer lugar, podemos establecer el resultado sobre los números enteros. Suponiendo esta doble igualdad siempre ocurre, considere un ejemplo mínimo. Entonces cualquier divisor primo $p$ de $x$ debe dividir ambos $y$ y $z$ . Esto significa que $p^{(p^p)}$ divide cada uno de $x^{(y^z)}$ , $y^{(z^x)}$ y $z^{(x^y)}$ . División de todos los términos por $p^{(p^p)}$ ahora da un ejemplo más pequeño, así que una contradicción.

Pasar a los números racionales es ahora fácil... sólo es cuestión de despejar los denominadores y repetir el mismo argumento básico.

Obtener el resultado sobre los reales es un poco más sutil, y aún no lo he resuelto del todo. Estoy pensando que un primer paso necesario es realizar cada $x$ , $y$ y $z$ como límite de una secuencia de números racionales. Puedes intentarlo tú mismo, ya que yo estaré preocupado durante los próximos tres días.

Mucha suerte con este interesante problema. Volveré a tratarlo cuando vuelva a mi base.