A es un cuadrado $n$ por $n$ matriz aquí.
Entiendo que la prueba para $A^2$ siendo invertible dado que $A$ es invertible, pero no veo cómo incorporar el $A + A^2$ factor en él.
Lo que he intentado hasta ahora es un cálculo aproximado para dar:
$A(I_n + A)$
Pero ahí es donde estoy atascado. Cualquier ayuda es muy apreciada.
Estoy un poco perdido en tu último paso. ¿Cómo has llegado a que el determinante de A es cero?
Es porque si $det(A)$ fueran 0, entonces $det(A+A^2) = 0$ que no lo es, ya que $A+A^2$ es invertible.
@AdamM. El producto de dos números reales es distinto de cero si y sólo si los dos números son distintos de cero. Tomando los determinantes, se deduce que $MN$ es invertible si y sólo si $M$ y $N$ son invertibles. Vin está aplicando esto a $M=A$ , $N=I+A$ .
¿Es por la definición $AA^-1 = I_n$ que lleguen a esa conclusión? La prueba tiene sentido, pero es el método lo que me pierde
@AdamM. Una inversa se define como una matriz $M$ tal que $AM=MA=I$ . Hay un teorema, probablemente demostrado en su libro de texto, que dice que si $A$ es una matriz cuadrada, y $AM=I$ entonces $M$ es automáticamente una inversa para $A$ . (Nota: Los inversores son únicos, pero en realidad no necesitamos ese hecho aquí)
Recordemos que una matriz es invertible si y sólo si tiene un espacio nulo trivial. Supongamos que $A+A^2$ es invertible. Demostraremos que el espacio nulo de $A$ es $\{0\}$ .
Supongamos que $Ax = 0$ . Entonces, $Ax+A(Ax) = 0 + A0 = 0$ . Pero, $Ax+A(Ax) = (A+A^2)x$ y como $A+A^2$ se supone que es invertible, debe ser que $x = 0$ . Así, el espacio nulo de $A$ es $\{0\}$ Así que $A$ es invertible.
Esto será cierto para todos los anillos: si $a+a^2$ es invertible entonces también lo es $a$ . Se deduce de otro hecho general: si $ab$ tiene un inverso de la derecha y $ca$ tiene un inverso a la izquierda entonces $a$ es invertible. De hecho, $(a b) b_1=1$ implica $a(b b_1) = 1$ y $c_1 (ca) = 1$ implica $(c_1 c) a= 1$ Así que $a$ tiene inversos a la izquierda y a la derecha, por lo que coinciden ( prueba estándar) y $a$ es invertible.
Ahora, a la prueba de la afirmación. Si $a+a^2$ es invertible entonces $a(1+a)$ es invertible y $(1+a)a$ es invertible, y por lo anterior se deduce que $a$ es invertible.
Oui.
Esto es una consecuencia directa de:
Propuesta. Dejemos que $M$ denotan una Dedekind-finito monoide. Entonces:
- Para todos $a,b \in M$ , si $ab$ es invertible, entonces también lo es $a$ y $b$ .
- En otras palabras, los elementos invertibles de $M$ formar un saturado submonoide de $M$ .
Prueba. Supongamos que $ab$ es invertible. Demostraremos que $a$ es invertible. Como $ab$ es invertible, podemos encontrar $k$ con $(ab)k=1$ . Así que $a(bk)=1$ . Entonces, por la finitud de Dedekind, tenemos que $a$ es invertible.
Volviendo a su problema, utilizamos el hecho de que para todos los números naturales $n$ el anillo matricial $\mathbb{R}^{n \times n}$ es Dedekind-finito. Ahora, sabemos que
$$A+A^2 = A(I+A)$$
y se da que el LHS es invertible. Por lo tanto, por la proposición anterior, tanto $A$ y $I+A$ son invertibles.
Hay que tener cuidado, la proposición no es válida en general. Hay monoides $M$ con dos elementos $a$ , $b$ para que $ab =1$ pero $ba \ne 1$ .
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Ya lo has factorizado. Ahora intenta multiplicar por la inversa. ¿Puedes usar eso para obtener una inversa para $A$ ?
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@MattSamuel al multiplicar por la izquierda %A^-1% obtengo:
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Bueno, no sabes $A$ tiene un inverso todavía. Intenta multiplicar a la derecha por la inversa de $A+A^2$ .