¿Es el anillo de la sección global de un noetheriano esquema noetheriano así?

Question

Como sugiere el título, me piden demostrar que, dado un Noetherian esquema de $(X,\ \mathcal{O}_{X})$ y cualquier subconjunto abierto $U\subseteq X$, $\Gamma(U,\ \mathcal{O}_{X}):=\mathcal{O}_{X}(U)$ es un Noetherian anillo.

Hasta ahora, he sido capaz de demostrar que el resultado es true si $U$ es un afín a abrir subconjunto de $X$, es decir, $U\simeq Spec(A)$ para algunos ring $A$ (y esto es realmente cierto cuando $X$ es sólo a nivel local Noetherian). También he demostrado que, dado $U$ como en el anterior, $(U, \mathcal{O}_{X\vert U})$ es un Noetherian esquema así, que luego se me permite reducir el problema al caso de $U=X$. Entonces, cuando todo está dicho y hecho, yo debería tratar de probar que el anillo de $\mathcal{O}_{X}(X)$ es Noetherian. Sin embargo, no puedo ir más lejos y yo estoy atrapado aquí.

Cualquier ayuda o sugerencia sería grately apreciado.

Gracias.

Answer 1

La respuesta es no. Véase la nota ouvert Un extraño por Manuel Ojanguren.

Aquí es un esquema de la construcción: Let $A,B \subseteq \mathbb{P}^3_k$ ser dos planos proyectivos que se intersecan en una línea proyectiva $L$. Que $X = A \cup B$. Sea $D \neq L$ una línea proyectiva en $A$ $D \cap L = \{P\}$. Que $U = X \setminus D$. $U$ Es noetheriano pero $\Gamma(U) \cong \{f \in k[x,y] : f(x,0)=f(0,0)\}$ no es noetheriano.