¿Dado que el $x^y=y^x$, lo que podría $x$ $y$ ser?

Question

No es demasiado difícil de averiguar que $x$ $y$ puede ser 1 y también $x$ puede ser 2 y $y$ puede ser 4 (y viceversa). Pero no puedo descartar si existen otras soluciones. ¿Tiene algo que ver con funciones inversas? ¿Hay una manera de ver las soluciones graficando, o algebraico?

Answer 1

He aquí una buena manera de ver esto: $$x^y = y^x \implica \\ y \ln x = x \ln y \implica\\ \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y$$ Así que una manera de resolver esto es mirando la gráfica de $y = \frac{\ln x}{x}$ y ver a donde llega un determinado valor de dos veces.

Sin embargo, voy a ir un paso más allá. He de decir que yo quiero que mi solución $(x,y)$ $x^y = y^x$ a ser de la forma$(x,ax)$, de modo que $y = ax$ para un valor de $a$. Además, voy a asumir que $x \neq y$, de modo que $a \neq 1$ (de curso, $x = y$ es siempre una solución si $x^x$ está definido). Con eso, hemos $$\frac{\ln x}x = \frac{\ln (ax)}{ax} \implica (\text{asumir } x\neq 0)\\ \ln x = \frac{\ln (ax)}{a} \implica\\ \ln x = \frac{\ln (a)}{a} + \frac{\ln x}{a} \implica\\ \frac {- 1}{a}\ln x = \frac {\ln(a)}{a} \implica (\text{asumimos } \neq 1)\\ \ln x = \frac{\ln(a)} {- 1} \implica\\ x = a^{\frac{1} {- 1}}$$ Así que, para cualquier valor de $a \neq 1$, el par $x = a^{1/(a-1)},$ $y = a \cdot a^{1/(a-1)} = a^{a/(a-1)}$ le dará una solución a la ecuación original.

Por ejemplo, conectar $a = 2$ da $x=2$$y = 4$. Probar con otros valores.

Answer 2

Existe una solución explícita a esta ecuación por %#% $ #%

$$y = -\dfrac{x \operatorname{W}\left(-\dfrac{\log(x)}{x}\right)}{\log(x)}$ Dónde está la función W de Lambert.

Tenga en cuenta: $\operatorname{W}(x)$ $

Tomar el logaritmo de ambos lados

$$x^y = y^x$$

$$y\log(x) = x\log(y)$$

Multiplicar por $$\dfrac{y\log(x)}{x} = \log(y)$ y exponentiate

$-1$$

Multiplicar cada lado por $$\exp\left(-\dfrac{y\log(x)}{x}\right) = \dfrac{1}{y}$

$-\dfrac{y\log(x)}{x}.$$

Resuelve usando las propiedades de la función de $$-\dfrac{y\log(x)}{x}\exp\left(-\dfrac{y\log(x)}{x}\right) = -\dfrac{\log(x)}{x}$.

$\operatorname{W}$$

$$-xy\log(x) = \operatorname{W}\left(-\dfrac{\log(x)}{x}\right)$$

Answer 3

Sugerencia:

Álgebra dice que después de tomar el $\ln$ ambos lados,

$$y\ln(x) =x\ln(y)$$

Esto implica $\ln(x) /x=\ln(y) /y$

¿Qué puede decir acerca de la función $x\to \ln(x)/x$?

Answer 4

Para encontrar soluciones graficando, tomar el logaritmo de ambos lados de la ecuación para obtener $y\cdot\log(x)=x\cdot\log(y)$. Suponiendo que $x$ y $y$ no son cero, dividir por ellos y $\frac{\log(x)}{x}=\frac{\log(y)}{y}$ y considerar el mapa $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto \frac{\log(x)}{x}$. Ahora tu pregunta es equivalente a encontrar los valores $x,y$ $f(x)=f(y)$.

Answer 5

todos los números de la forma $x^{1/(x-1)}$, $x>1$ satisfacer esto.