¿Es válida la Lema de Gauss para polinomios con coeficientes en un dominio de GCD?

Question

La prueba del Lema de Gauss en Wikipedia requiere este teorema:

Si $(C \mid S\cdot T) \land \lnot \operatorname{invertible}(C)$, entonces $C$ tiene un divisor no invertible en común con al menos uno de $S$ y $T.

Puedo demostrarlo para un dominio de Bézout, pero no para un dominio de DCLM. ¿Alguien puede ayudarme?

Texto original:

Si el contenido $c = c(ST)$ no es invertible, tiene un divisor no trivial en común con el coeficiente principal de al menos uno de $S$ y $T$ (ya que divide su producto, que es el coeficiente principal de $ST$).

Answer 1

Para tu información: una prueba del Lema de Gauss para dominios GCD se encuentra en la Sección 15.5 de estos apuntes. (No afirmo ninguna superioridad sobre otras pruebas que hayas visto o descubierto...)

Answer 2

CONSEJO $\ $ Simplemente aplica el Lema de Euclides, es decir $\rm\ (c,s)= 1,\ c\ |\ st\ \Rightarrow\ c\ |\ (ct,st) = (c,s)\:t = t\:.$

Alternativamente si $\rm\ (c,s) = 1 = (c,t)\:$ entonces $\rm\ c\:|\:st\ \Rightarrow\ c\ |\ (cc,cs,ct,st) = (c,s)(c,t) = 1\:.$

Como se solicitó, aquí hay una prueba simple de la ley distributiva del MCD $\rm\ (a,b)\:c = (ac,bc)\:.$

LEMA $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ac,bc)/c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe $\rm\quad$ (ley distributiva del MCD)

Prueba $\rm\quad d\ |\ a,b\ \iff\ dc\ |\ ac,bc\ \iff\ dc\ |\ (ac,bc)\ \iff\ d|(ac,bc)/c$

La prueba anterior utiliza las definiciones universales del MCD, mcm, que a menudo sirven para simplificar las pruebas, por ejemplo, ver una prueba similar de la ley MCD * mcm..