La prueba del Lema de Gauss en Wikipedia requiere este teorema:
Si (C∣S⋅T)∧¬invertible(C), entonces C tiene un divisor no invertible en común con al menos uno de S y $T.
Puedo demostrarlo para un dominio de Bézout, pero no para un dominio de DCLM. ¿Alguien puede ayudarme?
Texto original:
Si el contenido c = c(ST) no es invertible, tiene un divisor no trivial en común con el coeficiente principal de al menos uno de S y T (ya que divide su producto, que es el coeficiente principal de ST).
Para tu información: una prueba del Lema de Gauss para dominios GCD se encuentra en la Sección 15.5 de estos apuntes. (No afirmo ninguna superioridad sobre otras pruebas que hayas visto o descubierto...)
Esa prueba es en realidad idéntica a la de @Bill Dubuque. Ahora veo otra prueba basada en (ct,st)\mid(c,s)t \land (c,s)t\mid(ct,st)...
@beroal Probablemente tu "otra" prueba de la ley distributiva del MCD es equivalente a la prueba que di arriba, excepto que la has desglosado en dos casos separados, uno para cada dirección de la flecha. Pero eso va en contra de todo el punto de la prueba: unificar ambas direcciones utilizando la definición universal \iff del MCD, \rm\ a\ |\ b,c\ \iff\ a\ |\ (b,c)\:.\: Si dominas esta técnica, todas estas pruebas se vuelven bastante triviales. Mira los enlaces que di.
Nota La prueba en las notas de Pete, extraída de Haible: Gauss's Lemma without primes, 1990 es esencialmente la misma que la prueba de Wikipedia vinculada por el OP (atribuida a Richman 1988). Es el ejercicio sugerido 1-6-8 en Anillos Conmutativos de Kaplansky 1970, pero seguramente es mucho más antigua que eso. Merece ser más conocida que se puede demostrar de manera más simple y conceptualmente de la misma manera que el caso de UFD. Voy a publicar esto más tarde cuando tenga un tiempo libre.
CONSEJO \ Simplemente aplica el Lema de Euclides, es decir \rm\ (c,s)= 1,\ c\ |\ st\ \Rightarrow\ c\ |\ (ct,st) = (c,s)\:t = t\:.
Alternativamente si \rm\ (c,s) = 1 = (c,t)\: entonces \rm\ c\:|\:st\ \Rightarrow\ c\ |\ (cc,cs,ct,st) = (c,s)(c,t) = 1\:.
Como se solicitó, aquí hay una prueba simple de la ley distributiva del MCD \rm\ (a,b)\:c = (ac,bc)\:.
LEMA \rm\ \ (a,b)\ =\ (ac,bc)/c\quad si \rm\ (ac,bc)\ existe \rm\quad (ley distributiva del MCD)
Prueba \rm\quad d\ |\ a,b\ \iff\ dc\ |\ ac,bc\ \iff\ dc\ |\ (ac,bc)\ \iff\ d|(ac,bc)/c
La prueba anterior utiliza las definiciones universales del MCD, mcm, que a menudo sirven para simplificar las pruebas, por ejemplo, ver una prueba similar de la ley MCD * mcm..
¿Podrías por favor probar (ct,st)=(c,s)t? Veo por qué (c,s)t es un divisor común de ct,st, pero ¿por qué es el mayor divisor común?
@beroal: esto sigue directamente de la definición de 'generado por el ideal', ya que xct+yst=(xc+ys)t.
@wil No, los dominios de GCD generalmente no son de Bezout, es decir, los ideales finitamente generados no necesariamente deben ser principales.
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