Derivación funcional de holonomía

Question

Me gustaría saber cómo tomar el funcional derivado de la holonomy, o Wilson línea. Lo he probado y voy a mostrar lo que he hecho a continuación, pero antes quería decir que también he visto y hecho esto con la característica de deifferential ecuación para la holonomy $$ \frac{\partial U}{\partial s}+\dot{\gamma}^un A_{a} U=0 $$ con $\dot{\gamma}$ un vector tangente a la curva y $A$ la conexión. Mediante la variación de esta ecuación que puede encontrar lo $\frac{\delta U}{\delta A}$ es, pero me gustaría saber cómo hacerlo a partir de la expresión para $U$ $$ U=\mathcal{P}\exp \left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a(s) A_a(\gamma(s)) ds \right] $$ con $\dot{\gamma}^a=\frac{dx^a}{ds}$ como antes. Ahora he intentado directamente variar este con respecto a $A_b$ $$ \frac{\delta U}{\delta A_b(x)}=\mathcal{P} \exp \left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^un A_a ds \right] \cdot \frac{\delta}{\delta A_b}\left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^un A_a ds \right] $$ Ahora si $A_a=A_{a}^{i}\tau^i$ $$ \frac{\delta}{\delta A_{b}^i }\left[ -\int_{\gamma} \dot{\gamma}^un A_{a}^j \tau^j ds \right]=-\int_{\gamma} \dot{\gamma}^a \delta _{ab}\delta_{ij} \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds=-\int_{\gamma}\dot{\gamma}^b \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds $$ Así que termino con $$ \frac{\delta U}{\delta A_{b}^j}=U(\gamma)\left[ -\int_{\gamma}\dot{\gamma}^b \delta^3(\gamma(s)-x) \tau^j ds \right] $$ Que no está bien.. Puede que alguien me apunte en una dirección mejor, Gracias.

Answer 1

1) Vamos a escribir Wilson-línea de una simple curva de $\gamma: [s_i,s_f]\to \mathbb{R}^4$

$$\etiqueta{1} U(s_f,s_i) ~=~ \mathcal{P}\exp \left [\int_{\gamma} A_{\mu}~ dx^{\mu} \right]. $$

2) El camino de pedidos a $\mathcal{P}$ es importante si el medidor de potencial

$$\tag{2}A_{\mu}~=~A^a_{\mu} T_a$$

no es abelian. Aquí $T_a$ son los generadores de la correspondiente Mentira álgebra.

3) La Wilson-line ha groupoid propiedades, como por ejemplo,

$\tag{3}U(s_3,s_2)U(s_2,s_1)~=~ U(s_3,s_1), \qquad U(s,s) ~=~ {\bf 1}.$

4) Si una diferencia wrt. el punto final $s_f$, se obtiene

$$\etiqueta{4}\frac {dU(s_f,s_i)}{ds_f} ~=~ i\dot{\gamma}^{\mu}(s_f)~A_{\mu}(\gamma(s_f)) ~U(s_f,s_i). $$

5) Si una diferencia wrt. el punto inicial $s_i$, se obtiene

$$\etiqueta{5} \frac {dU(s_f,s_i)}{ds_i} ~=~ -U(s_f,s_i)~i\dot{\gamma}^{\mu}(s_i)~A_{\mu}(\gamma(s_i)) . $$

6) OP quiere diferenciar el Wilson de la línea de $U(s_f,s_i)$ funcionalmente wrt. el calibre de los posibles componentes $A^a_{\mu}(x)$. Uno se

$$\etiqueta{6} \frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta^a_{\mu}(x)} ~=~\int_{s_i}^{s_f}\! ds~ U(s_f,s)~ i\dot{\gamma}^{\mu}(s)\delta^4(x-\gamma(s))T_a~U(s,s_i). $$

7) Heurística de la prueba de (6). Como ya hemos utilizado la carta de $x\in\mathbb{R}^4$ en (6) como un espacio fijo-punto en el tiempo, que nos llame a cualquier punto en el espacio-tiempo para $y\in\mathbb{R}^4$.

1. Imagina que $\tilde{A}(y)=A(y)+\delta A(y)$ es una variación infinitesimal del indicador potencial de $A(y)$.

2. Imagina que $\delta A(y)$ sólo difiere de cero en un infinitesimalmente pequeño vecindario $\Omega$ de los fijos del espacio-tiempo punto de $x$.

3. Suponga que la curva de $\gamma$ cruza el barrio de $\Omega$ en el parametervalue intervalo de $[s_x-\varepsilon,s_x+\varepsilon]\subseteq [s_i,s_f]$. (Si la curva de $\gamma$ no se cruza con el vecindario $\Omega$, entonces la ecuación (6) se convierte en trivial correcta: $0=0$.)

Por un lado, infinitesimal, la variación del indicador potencial de rendimientos

$$\tag{7}\delta U(s_f,s_i)~=~U(s_f,s_x+\varepsilon)~\delta U(s_x+\varepsilon,s_x-\varepsilon)~U(s_x-\varepsilon,s_i), $$

y

$$\delta U(s_x+\varepsilon,s_x-\varepsilon)~\approx~2\varepsilon i~ \dot{\gamma}^{\mu}(s_x)~\delta A_{\mu}(\gamma(s_x)) $$ $$~=~\int_{\Omega} \!d^4y~\delta^4(y-\gamma(s_x))~2\varepsilon i\dot{\gamma}^{\mu}(s_x)~\delta A_{\mu}(y)$$ $$\tag{8}~\approx~ \int_{\Omega} \!d^4y~\int_{s_x-\varepsilon}^{s_x+\varepsilon}\! ds~\delta^4(y-\gamma(s))~i\dot{\gamma}^{\mu}(s)~\delta A_{\mu}(y).$$

Por otro lado, la definición de propiedad de un funcional derivada de los rendimientos

$$\tag{9}\delta U(s_f,s_i) ~=~\int_{\mathbb{R}^4} \!d^4y~ \frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(y)} ~\delta A^a_{\mu}(y)~=~\int_{\Omega} \!d^4y~ \frac {\delta U(s_f,s_i)}{\delta A^a_{\mu}(y)} ~\delta A^a_{\mu}(y).$$

Una comparación de la nca. (7), (8) y (9) se obtiene la eq. (6).