Encontrar la suma de los factores de un número utilizando la factorización en números primos

Question

Dado un número, hay un algoritmo descrito aquí para encontrar su suma y número de factores. Por ejemplo, tomemos el número $1225$:

Sus factores son $1, 5, 7, 25, 35, 49, 175, 245, 1225$ y la suma de los factores es $1767$.

Un algoritmo simple que se describe para encontrar la suma de los factores es usando la factorización en números primos.

$1225 = 5^2 \cdot 7^2$, por lo tanto la suma de los factores es $(1+5+25)(1+7+49) = 1767$

Pero esta lógica no funciona para el número $2450$. Por favor verifique si funciona para $2450$

Editar: Lo siento, funciona para $2450$. Cometí un error en el cálculo.

Answer 1

Su enfoque funciona bien: $2450=2\cdot 5^2\cdot 7^2$, por lo tanto la suma de los divisores es $$(1+2)(1+5+25)(1+7+49)=5301=3\cdot 1767.$$

Estás buscando la Fórmula para la Suma de los Divisores, desde allí:

Cada una de estas sumas es una serie geométrica; por lo tanto, podemos usar la fórmula para la suma de una serie geométrica para concluir $$\sum_{d|n}d = \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{m_i+1}-1}{p_i-1}$$

Answer 2

Resolviendo para $1225 = 5^2 × 7^2$

Suma de divisores = $(a^{p+1} – 1)/(a – 1) × (b^{q+1} – 1)/(b – 1)$
Aquí $a = 5$, $b = 7$ factores primos
$p = 2$ y $q = 2$
Suma de divisores = $(5^3 – 1)/(5 – 1) × (7^3 – 1)/(7 – 1)$
\= $(124/4) × (342/6)$
\= $(31 × 57)$
\= $1767$

Answer 3

$2450=2\cdot5^2\cdot7^2$, por lo tanto, el algoritmo da

$$(1+2)(1+5+25)(1+7+49)=3\cdot31\cdot57=5301\;.$$

Los divisores de $2450$ son $1,2,5,7,10,14,25,35,49,50,70,98,175,245,350,490,1225$, y $2450$, cuya suma es efectivamente $5301$.

No es difícil demostrar que el algoritmo funciona, por lo que si pensaste que falló, cometiste un error en tus cálculos en algún lugar; mi suposición sería que te perdiste un divisor de $2450$.

Answer 4

Si un número $N=(a^x)(b^y)(c^z)$, donde $a,b$ y $c$ son números primos, la suma de sus factores es $S= [(a^{x+1}-1)/(a-1)][(b^{y+1}-1)/(b-1)][(c^{z+1}-1)/(c-1)]$

Por ejemplo, $12=[(2^{2+1}-1)/(2-1)][{(3^{1+1}-1)}/(3-1)]=28$

Answer 5

Suma de los factores de $2450$

Los factores son $2, 5^2, 7^2$.

Suma de los factores $= ( 2^0 + 2^1 ) × ( 5^0 + 5^1+ 5^2)×( 7^0 + 7^1+ 7^2) = 5301$