Cómo probar el intercambio de integral y expectativa

Question

Cómo probar $\int_{0}^{\infty}{h(t)\mathbb{E}(I(X>t))dt}=\mathbb{E}(\int_{0}^{\infty}{h(t)I(X>t)dt})$. ¿Puedo tratar como una constante respecto a $h(t)$ $X$? ¿A continuación, obtener directamente el resultado?

El punto es que no entiendo es qué $\mathbb{E}(\int_{0}^{\infty}{h(t)I(X>t)dt})$.

Answer 1

El % integral $\int_0^\infty h(t)I(X>t)\,dt$es una variable aleatoria, lo llaman $Y$. El papel del indicador variable aleatoria $I(X>t)$ es restringir la $t$ integración al intervalo (aleatorio) $(0,X)$. En otras palabras, $$ Y(\omega) = \int_0^{X(\omega)} h (t) \,dt, $$ para cada muestra punto $\omega$ en el espacio muestral. Luego se forman las expectativas de $Y$. Si $h$ toma únicamente los valores no negativos, el teorema de Tonelli puede utilizarse para justificar el cambio en el orden de la expectativa y la integración (en $t$).

Answer 2

Ok, se ve mejor ahora, y creo que todos los requisitos para cambiar el orden de integración están satisfechos. Parece que está asumiendo finito expectativa de $X$. Para llegar a su última línea/pregunta: $X$ es una variable aleatoria y por lo tanto $I(X>t)$ es una variable aleatoria (para cada uno de ellos fijo $t$). Es $1$ o $0$, y depende (al azar) en el valor de $X$ toma. Por lo tanto $\int_0^\infty h(t) I(X>t)dt$ es una variable aleatoria. La función de $h(t) I(X>t)$ que se va a poner a cero durante un cierto intervalo dependiendo de lo que el valor de $X$ toma, por lo tanto no sabemos el valor de la integral con certeza.