¿Son los logaritmos de la función sólo en $(0, \infty)$ que tiene esta propiedad?

Question

¿Son los logaritmos de la función sólo en $(0, \infty)$ que tiene esta propiedad?

$f(xy) = f (x) + f(y)$$

Si es así, ¿cómo nos demostraría? Si no es así, ¿qué más necesitaría demostrar que una función $f$ que satisface que esta propiedad es cierta función $\log_a$ $a$?

Answer 1

Otro de $f(x)=0$ todos los $x$, logaritmos son los únicos continua de funciones con la propiedad. Nos muestran esta en los pasos.

$f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)+f(1)$, lo $f(x^0)=f(1)=0=0\cdot f(x)$. Obviamente $f(x^1)=1\cdot f(x)$.

$f(x^2)=f(x\cdot x)=f(x)+f(x)=2f(x)$, y por inducción podemos demostrar que $f(x^n)=nf(x)$ para todos los números naturales $n$ (incluyendo el cero).

Para el número racional $y=\frac ab$,

$$f(x^y)=f(x^{a/b})=\frac 1b\cdot bf(x^{a/b})=\frac 1bf((x^{a/b})^b)=\frac 1bf(x^a)=\frac abf(x)=yf(x)$$

Por lo $f(x^y)=yf(x)$ para todos los números racionales $y$. Por continuidad se puede extender a todos los valores reales $y$.

Si $f(x)$ es siempre distinto de cero, podemos encontrar $b>0$ $c\ne 0$ tal que $f(b)=c$. Entonces

$$0\ne c=f(b)=f(e^{\ln b})=\ln b\cdot f(e)$$

por lo $f(e)\ne 0$. Deje $a=e^{1/f(e)}$, lo $f(e)=\frac 1{\ln a}$. A continuación, para todos los $x>0$,

$$f(x)=f(e^{\ln x})=\ln x\cdot f(e)=\frac{\ln x}{\ln a}=\log_a x$$

Por lo tanto, $f(x)$ es realmente una función logaritmo.

Si abandonamos la continuidad de la restricción, creo que el axioma de elección se muestran otras funciones son posibles. Creo que esto se hace mediante el establecimiento de un orden en los números reales y el uso de la inducción transfinita. Pero los detalles son probablemente más allá de mí.

Answer 2

$f(x)=0$ satisface esta propiedad.

Answer 3

Bueno esta es una respuesta parcial: es la sólo tal función diferenciable en $x=1$, puesto que tenemos $\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{x}\frac{f(1+h/x)}{h/x}\to \frac{f'(1)}{x}$ $h\to 0\,,$ y el Teorema fundamental del cálculo (combinado con $f(xy)=f(x)+f(y))$ da que $f(x)=f'(1)\ln{x}\,,$ asi son todos de la forma $c\log{x}\,.$ que ahora sería suficiente para mostrar que tal función es diferenciable en $x=1\,.$

Edit: En realidad uno puede derivar $\displaystyle \frac{f(1+h)}{h}=y\frac{f(y+hy)-f(y)}{hy}\,,$ por lo que es suficiente para mostrar que existe un punto en que $f$ es diferenciable.

Answer 4

algunos consejos para una aproximación a la otra parte de su pregunta.

usted puede mostrar $$f(1)=0$$ and $$f(x)=-f(\frac1{x})$$

también, para un conjunto de distintos números primos $p_k$, y enteros $a_k$ $$f(\prod_{k=1}^n p_k^{a_k})=\sum_{k=1}^n a_kf(p_k)$$ de modo que $f$ se define en $\mathbb{Q}$ y puede ser extendida a $\mathbb{R}$ por la continuidad.

para los números enteros $a,b$ hemos $$f(n^{\frac{b}{a}})=\frac{b}{a}f(n)$$

el uso de la continuidad y de la aproximación racional $f(a^s)=sf(a)$ $a$ $s \in (0,\infty)$

si $f$ no es idénticamente cero, entonces hay un $b$ que $f(b)=1$