Aproximar la raíz de $\epsilon^{2}x^{3}+x+1$

Question

Vi el siguiente en mis notas de la conferencia, y estoy teniendo dificultades la verificación de las medidas adoptadas.

La pregunta es:

Asumiendo $0<\epsilon\ll1$ encontrar todas las raíces del polinomio $$\epsilon^{2}x^{3}+x+1$$ which are $O(1)$ de hasta una precisión de $O(\epsilon^{2})$

y la solución que se dio fue

Suponga que $x=O(1)$ y que $$x(\epsilon)=x_{0}+\epsilon x_{1}+O(\epsilon^{2})$$ , a Continuación, por el ajuste en la ecuación y dejar $\epsilon\to0$ obtenemos $$x_{0}=-1,x_{1}=0$$

Por lo tanto $x(\epsilon)=-1+O(\epsilon^{2})$

Tengo dos preguntas:

1. Donde hicimos uso de la suposición de que $x=O(1)$

2. ¿Cómo llegaron $$x_{0}=-1,x_{1}=0 ?$$

Cuando hice el paso de configuración en la ecuación y dejando $\epsilon\to0$ I got $$x_{0}+1+O(\epsilon^{2})=0$$ y yo no sé nada acerca de $x_{1}$.

Debo ignorar $O(\epsilon^{2})$ y de que debo conseguir $x_{0}=-1$

Answer 1

Esto no es exactamente como está escrito arriba, pero mi enfoque sería como sigue.

En primer lugar, asumir que $x(\epsilon) = O(1)$. Entonces, podemos decir $x(\epsilon) = x_0 + f(\epsilon)$ donde $f(\epsilon) = o(1)$ es algo de la función en $\epsilon$, e $x_0$ es constante en $\epsilon$. El llenado de esta, y el uso de ese $x(\epsilon)$ es una raíz de la ecuación, obtenemos $$\epsilon^2 (x_0 + f(\epsilon))^3 + (x_0 + f(\epsilon)) + 1 = 0.$$ La expansión de la cúbico, obtenemos $$\left(\epsilon^2 x_0^3 + 3 \epsilon^2 x_0^2 f(\epsilon) + 3 \epsilon^2 x_0 f(\epsilon)^2 + \epsilon^2 f(\epsilon)^3\right) + \left(x_0 + f(\epsilon)\right) + 1 = 0.$$ Ahora, tenga en cuenta que $f(\epsilon) = o(1)$, por lo que también se $f(\epsilon)^2 = o(1)$$f(\epsilon)^3 = o(1)$. Además tenga en cuenta que $x_0 = O(1)$, por lo que también se $x_0^2 = O(1)$$x_0^3 = O(1)$. Así que el segundo, tercero y cuarto de los términos de arriba son todos los $o(\epsilon^2)$. Así que si combinamos todos estos $o(\epsilon^2)$-de los términos en una $o(\epsilon^2)$plazo, obtenemos $$\epsilon^2 x_0^3 + o(\epsilon^2) + x_0 + f(\epsilon) + 1 = 0.$$ La reescritura de esta levemente, a un grupo de los términos de la misma orden, obtenemos $$(x_0 + 1) + \left(f(\epsilon) + x_0^3 \epsilon^2 + o(\epsilon^2)\right) = 0.$$ Equiparar el orden correcto de los términos en ambos lados, por lo tanto, debemos tener $x_0 = -1$$f(\epsilon) = -x_0^3 \epsilon^2 + o(\epsilon^2) = \epsilon^2 + o(\epsilon^2)$, a partir de la cual se puede concluir que la $x(\epsilon) = -1 + \epsilon^2 + o(\epsilon^2)$.

Si no asumimos $x(\epsilon) = O(1)$, entonces tenemos más soluciones. En particular, las otras dos soluciones son de la forma $$\begin{align} x(\epsilon) &= \frac{\pm i}{\epsilon} + O(1) \end{align}$$ Para estas soluciones, no podemos decir que $x(\epsilon) = x_0 + o(1)$ para algunas constantes $x_0$, por lo que no encontramos estas soluciones con el método anterior.

Answer 2

Mucho más simple: como $x(\epsilon)\in O(1)$, tenemos inmediatamente de reescribir el cúbico que % $x(\epsilon)=-1-\epsilon^2x(\epsilon)^3\in -1+O(\epsilon^2).$

Answer 3

Ok, aquí es cómo va:

1. Esta suposición se basa en una idea de cuál es la solución va a parecer. Es decir, por hacer de este supuesto, no vamos a ser capaces de obtener soluciones donde el primer término de ($x_0$) no es de este orden. Ya que aparentemente no están buscando la solución de orden superior (aquellos donde el primer término $x_0$ escalas como $\epsilon^{-\beta}$, $\beta>0$), esta suposición se dictan lo que la solución somos capaces de conseguir. En respuesta a uno de los comentarios: la suposición de que el $x_1$ plazo de escalas con $\epsilon$ es exactamente eso, una suposición. Sin embargo, me imagino que si has seguido la siguiente separación de escalas de análisis utilizando un $\epsilon^1/2$ expansión, se encuentra cada uno de estos términos es igual a cero.

2. Esto se basa en un concepto fundamental de asymptotics, la separación de las escalas - términos asociados con los diferentes poderes de $\epsilon$ son tratados de forma independiente de los demás. Por ejemplo, en este caso, supongamos que estamos buscando un plazo de dos solución para el polinomio de arriba. Tenemos $$\epsilon^2 (x_0 + \epsilon^1 x_1)^3 + x_0 + \epsilon_1 x_1 + 1 = 0$$ Esto viene de la simple sustitución de $x_0 + \epsilon x_1$ en la ecuación. La expansión de este, nos encontramos en el $\mathcal{O}(1)$ $\mathcal{O}(\epsilon)$ niveles \begin{gather} \mathcal{O}(1): \quad x_0 + 1 = 0 \Rightarrow x_0 = -1 \\ \mathcal{O}(\epsilon): \quad x_1 = 0 \\ \dots \end{reunir} El de arriba se basa en este supuesto fundamental de asymptotics que para un determinado asymptotics serie para resolver un polinomio, los términos en escala debe evaluar a cero.