El borel $\sigma$-álgebra de $C[0,\infty)$ por el cilindro electrógenos

Question

Esto está relacionado con este post:

Set $M := \{f \colon [0,\infty) \to \mathbb{R} \ |\  f \text{ continuous }\}$ con la métrica de la convergencia en compacto de conjuntos dada por $$d(f,g) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(\max_{x\in [0,n]} |f(x)-g(x)|\right)\wedge 1}{2^n}$$

A continuación, el Borel $\sigma$-álgebra $B(M)$ es generado por el cilindro de conjuntos de $C(A,t_1,\dots,t_n):=\{f\in M \colon (f(t_1),\dots,f(t_n)) \in A\}$ $n \in \mathbb{N}$ $A \in B(\mathbb{R}^n)$

Trato de usar la técnica utilizada en el post anterior, pero yo sólo podía demostrar que para $\varepsilon < 1$ $$B(f,\varepsilon) = \bigcup_{m\in \mathbb{N}} \bigcap_{n\in \mathbb{N}} \bigcap_{t \in [0,n]\cap \mathbb{Q}} \pi_t^{-1}\left(\left( f(t) -\left(\frac{1-2^{-m}}{2}\right)\varepsilon \ , \ f(t) +\left(\frac{1-2^{-m}}{2}\right)\varepsilon\right)\right)$$

El $\varepsilon <1$ condición viene del hecho de que si $g \in B(f,\varepsilon)$ $\left(\max_{x\in [0,n]} |f(x)-g(x)|\right)\wedge 1 \leq \varepsilon$ y esto implica $\max_{x\in [0,n]} |f(x)-g(x)| < \varepsilon$ si $\epsilon < 1$.

Cualquier ayuda será apreciada.

EDIT: la ecuación anterior no es cierto, no sé cómo extender la técnica en el otro post para este caso.

Answer 1

Nota: M es un espacio métrico separable, para cualquier conjunto abierto se puede escribir como una Unión contable de bolas abiertas de radio más pequeño de 1.

Para ver esto, escoger un subconjunto denso contable $\{f_n\}$ y considerar el % de bolas $B(f_n, 1/k)$, $k\ge 2$, todas ellas con radio inferior a 1. Supongo que $U$ es cualquier conjunto abierto. Para cualquier $f \in U$ allí es una bola $B(f, 1/k)$ contenida en U. Por densidad, elegir un $f_n$ $d(f, f_n) < 1/(2k)$. Entonces tenemos $f \in B(f_n, 1/(2k)) \subset B(f, 1/k) \subset U$. Por lo que se puede escribir como Unión de bolas $B(f_n, 1/k)$ de los cuales hay numerable.