Cómo demostrar que si $\#A = n$ entonces $\#A^{k} = n^{k}$ ? ¿Y qué pasa con la fórmula $\frac{n!}{(n-k)!}$ ?

Question

Estoy empezando un minicurso de Combinatoria y, aunque puedo "ver" los resultados, tengo dificultades para demostrarlos.

Por ejemplo,

En $\#A = n \in \mathbb{N}$ , demuestre que $\#A^{k} = n^{k}$ , para $k \in \mathbb{N}$ .

Entiendo que $A^{k} = \{(x_1, \ldots, x_k) : x_i \in A\}$ y que tenemos $n \times n \ldots \times n$ ( $k$ veces) posibles disposiciones para una secuencia como $(x_1, \ldots, x_k)$ pero no sé qué usar para probar el resultado.

¿Puede sugerir algún plan? Si es posible, ¿podría ser un consejo que me diera tracción para probar los siguientes resultados relacionados?

Gracias por el tiempo que se ha tomado para leer mi pregunta. Se lo agradezco mucho.

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Actualización: Como esta cuestión es tan sencilla (ver comentarios), y sólo se presentó con la intención de conocer las herramientas del oficio, pasaré a otro resultado que me gustaría poder probar.

Demostrar que el número de elementos en $\{(x_1, \ldots, x_k) : x_i \in A, i \in \{1, \ldots, k\}, x_i \neq x_j \Longleftrightarrow i \neq j, j \in \{1, \ldots, k\}\}$ viene dada por la fórmula $\frac{n!}{(n-k)!}$ .

Gracias por sus respuestas hasta ahora.

Answer 1

Para responder a la segunda pregunta, el conjunto en cuestión es el número de elementos de $A^k$ de manera que no haya dos entradas iguales. Dado que $A$ tiene $n$ se tiene entonces $n$ opciones para la primera entrada, y $n-1$ para la segunda entrada, ya que no puede elegir el elemento que colocó en la primera entrada. Entonces tiene $n-2$ opciones para la tercera entrada, $\dots$ , $n-(k-1)=n-k+1$ opciones para el $k^{\text{th}}$ por el mismo razonamiento. Pero fíjese $$ n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)=\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)\cdots 1}{(n-k)\cdots 1}=\frac{n!}{(n-k)!}. $$