Cuando el polinomio $mx^3-nx^2+5x-1$ se divide por $x+2$ el resto es $-39$ ?

Question

Cuando el polinomio $mx^3-nx^2+5x-1$ se divide por $x+2$ el resto es $-39$ . Cuando el polinomio se divide por $x-1$ el resto es $3$ . Hallar los valores de $m$ y $n$ .

¿Mi intento? Siento que hice algo incorrecto

$$-8m -n -10 - 1 = -39\\ m - n + 5 - 1 = 3$$

Resta la primera ecuación de la segunda.

$$-9m -15 = -42\\ 9m = 27\\ m = 3$$

Introduce m en una de las ecuaciones

$$3 - n + 5 - 1 = 3\\ n = 4$$

Answer 1

Tu idea de cómo resolverlo es correcta, sólo has errado al olvidar el $x^2$ en el polinomio.

La primera línea debería ser:

$$-8m-4n-10-1=-39$$

Answer 2

Lema : Sea $p(x)$ sea un polinomio (sobre $\mathbb{R}[x]$ digamos) y que $a\in\mathbb{R}$ . Entonces, el resto de la división de $p(x)$ por $x-a$ es $p(a)$ .

Prueba . Sea $q(x)$ y $r(x)$ sea el cociente y el resto de la división de $p(x)$ por $x-a$ . Entonces, el grado de $r(x)$ debe ser $0$ es decir, $r(x)=r$ es una constante, y $$p(x)=q(x)(x-a)+r.$$ Por lo tanto, si evaluamos la expresión mostrada en $a$ obtenemos $$p(a)=q(a)(a-a)+r=0+r=r.$$ Por lo tanto, $r=p(a)$ como se afirma.

Ejemplo . Sea $p(x)=mx^3-nx^2+5x-1$ y supongamos que el resto al dividirlo por $x+2$ es $-39$ y el resto dividido por $x-1$ es $3$ . Por nuestro Lemma, esto implica que $p(-2)=-39$ y $p(1)=3$ . Por lo tanto, $$-8m-4n-11=-39 \ \text{ and } \ m-n+4=3,$$ o, lo que es lo mismo, $$2m+n=4\ \text{ and } \ m-n=-1.$$ Por lo tanto, $n=m+1$ y $4=2m+m+1$ así que $3m=3$ . Así, $m=1$ y $n=2$ .