Estoy buscando un ejemplo de una integral, subsanables varifold, que no tiene localmente delimitado primera variación.
Recapitulación
para cada $m$-subsanables varifold $\mu$ existe un $m$-subsanables en conjunto $E$$\mathbb R^n$, lo $E=E_0 \cup \bigcup_{k\in\mathbb N} E_k$ $\mathcal H^m(E_0)=0$ $E_k\subseteq F_k$ algunos $\mathcal C^1$-colectores $F_k$ de la dimensión de $m$, y un no-negativ función de $\theta\in L^1_{\text{loc}}(\mathcal H^m|_E)$ tal que $\mu=\theta \mathcal H^m|_E$. Esta es una caracterización de $m$-recitifiable varifolds. La primera variación $\delta\mu$ de un varifold $\mu$ $\eta\in\mathcal C^1_c(\mathbb R^n;\mathbb R^n)$ dada por $$\delta\mu(\eta)=\int div_\mu\eta\,d\mu,$$ donde $ div_\mu(\eta)(x) = \sum_{i=1}^n \tau_i^T(x)\cdot D\eta(x)\cdot \tau_i(x)$ donde $\tau_i(x)$ es una base ortogonal de la tangentspace de $\mu$$x$, que coinsidence $\mu$-casi en todas partes con $T_xF_i$ $x\in E_i\subseteq F_i$ anterior. Por lo $div_\mu\eta(x)$ es sólo la divergencia en el colector de $F_i$,$x\in E_i\subseteq F_i$.
Podemos decir $\mu$ tiene un localmente delimitado primera variación, si para todas las $\Omega'\subseteq \Omega$ existe $c(\Omega')<\infty$ tal que $$ \delta\mu(\eta) \le C(\Omega',\Omega) \Vert \eta\Vert_{L^\infty(\Omega)} \qquad\forall\;\eta\in\mathcal C^1_c(\Omega'). $$ Ver para más explicación, por ejemplo http://eom.springer.de/G/g130040.htm.
Para un $\mathcal C^2$-colector $M$$\mathbb R^n$, con una media de curvatura $H_M$ la primera variación es $$ \delta M(\eta)=-\int_M H_M \cdot \eta \,dvol_M -\int_{\partial M} \tau_0 \cdot \eta \,dvol_{\partial M} \qquad\forall\;\eta\in\mathcal C_c^1(\mathbb R^n)$$ con el interior de la normal $\tau_0\in T_xM\cap(T_x\partial M)^\bot$ y donde el promedio de curvatura es la traza de la segunda forma fundamental $A$ por el significado de $H_M(x)=\sum_{i=1}^m A_x(\tau_i,\tau_i)$ en el espacio normal de $M$. Como obviouse en este caso la primera variación es localmente acotada.
