¿Por qué hay sólo 3 aditivo integrales de movimiento?

Question

1. Estaba leyendo Landau & Lifschitz, el libro de la Mecánica, y me encontré con esta frase en la p.19:

"No hay ningún otro aditivo integrales de la moción. Así, cada sistema cerrado tiene siete integrales: la energía, los tres componentes de impulso, y las tres componentes del momento angular".

Sin embargo, no hay pruebas de que se da para esta declaración. Por qué es esto cierto?

2. Me parece que la declaración algo contra-intuitivo; se dice en el comienzo del segundo capítulo, que por cualquier sistema mecánico con $s$ grados de libertad, hay en la mayoría de las $2s-1$ integrales de movimiento.

Pero la afirmación anterior parece dar a entender que un sistema con tres grados de libertad tiene al menos $2s+1$ integrales de movimiento. Por qué no es esto una contradicción?

3. Finalmente, se trata de las integrales de movimiento corresponden perfectamente a la homogeneidad de tiempo (energía), la homogeneidad del espacio (impulso), y la isotropía del espacio (momento angular).

Desde esta perspectiva tiene sentido ¿por qué la energía es "unidimensional", ya que sólo hay una dimensión de tiempo, y por qué el impulso y del momento angular son "tres dimensiones", ya que el espacio tiene tres dimensiones.

Sin embargo, ¿por qué el único aditivo de las integrales de movimiento corresponden a estas propiedades? Lo que es especial acerca de ellos lo que garantiza que éstos tienen aditivos integrales de movimiento y que ninguna otra propiedad puede?

Incluso si usted no sabe la respuesta a todas estas preguntas, realmente agradecería cualquier ayuda o conocimiento que me podía dar. Yo estaba disfrutando mucho de este libro hasta que se me ocurrió de esta pregunta y ahora estoy irremediablemente confundidos. Agradezco mucho su tiempo y por favor disfruten el resto de la semana!

Answer 1

OK, según su petición.... Mi sensación es que quieres aprender todo acerca de integrabilidad de aquí, y combinar los temas que nos confunde, en lugar de separarse de ellos.... Cómo sobre usted suplemento de L&L con Arnold libro?

1. El siete de aditivos integrales de L&L son el aditivo de la ley de la conservación de los aislados centro de masa del sistema, norma y centro de conservación de la masa teoremas dictan que están fijas en la ausencia de fuerzas y momentos externos, y así trabajar en las entradas/salidas, por el de Newton de acción-reacción leyes: suma de todas las energías, o momenta, o angulares momenta, y sus cantidades,ya que el sistema está "cerrado" se conservan (como en un agujero negro!). Pero... ellos no tienen que ser independientes, como, por ejemplo, para una partícula libre en la caja, $E\propto \vec{P}^2$, es decir, y es que no es un absoluto límite inferior en el número de conserva integrales. (y para una partícula libre, J 0/sentido, reduce la indep conservado integrales a 3.) Para comparar con el 2., Voy a utilizar el sencillo sistema aislado de 2 partículas en 2d, por lo que la rotación del grupo es unidimensional, y la conserva de aditivos integrales, en lugar de 7, ahora son solo 4: E, $\vec{P}$, y J.

2. Este es un amplio resumen de la declaración de un límite superior para el número de independientes de las integrales de espacio de la fase de movimiento, no necesariamente aditivo . En un 2 s-dimensional del espacio de fases, cada una independiente conservada integral especifica independiente hipersuperficie en el que las trayectorias de la mentira, y especificar el espacio de la fase punto se debe ejecutar en su intersección. El más restrictivo caso es 2 s - 1 hypersurfaces, cuyo punto de intersección es una recta, la trayectoria de un (multidimensional) el espacio de fases; una más de la restricción y la línea se intersecan en un punto, así que el punto no se mueve en el tiempo! Los sistemas con este número máximo de las limitaciones que se llaman máximo superintegrable, como el problema de Kepler, o la mayoría de las crías de primer año de la física de problemas. Como una exageración de lado, todos estos problemas se describen mucho más simétricamente por el equivalente de Nambu mecánica de imagen: la clásica expresa en PB idioma. Para invariantes en la involución, ver esto.

   • Así que, ahora, considere dos partículas conectadas por un resorte, 2d, comenzando con k=0 límite, tan libre de partículas. $$L=\frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}^2+ \dot{y}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2= \frac{1}{2}M\left(\dot{X}^2+\dot{Y}^2\right)+\frac{1}{2}m\left(\dot{r}^2+ r^2\dot{\theta}^2 \right)-\frac{1}{2}k\left(r-d\right)^2.$$ para las capitales de ser el centro de masa de coordenadas, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, y θ es el ángulo entre las coordenadas relativas. Ahora las ecuaciones de movimiento para θ ya están integrados a la constante de $r^2\dot{\theta}\equiv J$, por lo que podemos caer su cinética plazo en favor de un plazo $mJ^2/(2r^2)$ reubicados en el potencial de parte de la lagrangiana.

   • Que nos permiten contar general conservada cantidades, primero para k=0, la gratuita de su caso: en coordenadas Cartesianas coordenadas, tenemos 2 composiciones de impulso para 2 partículas, de modo que 4 en total; además de J y cada una de las dos energías, E y ε para la capital y el menor caso de las variables ? No del todo, ya que el Correo no es independiente de la c.m. momenta, y ε de los internos. El independiente integrales parecen ser 5. Sin embargo, el externo, las aditivas, se E+ε, J, e $\vec{P}$, por lo menos de los independientes. De inflexión en la interacción (primavera, nonvanishing k) destruye la conservación de los dos componentes de la dinámica interna, pero $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ y de los J se conservan (2×2-1 para x,y, osciladores de ser máximamente superintegrable) y a la independencia de las integrales en general son 5, sin embargo, de nuevo, impidiendo así su paradoja.

   • Finalmente, una palabra sobre su Poisson teorema de la pregunta. Siendo totalmente esquemático y caballero acerca de los factores, se puede ver que, dada la invariantes $\epsilon_x, \epsilon_y, J$ de esta doble oscilador, $\{ \epsilon_x, J\} \sim K\equiv p_x p_y +xy$, también es fácil de confirmar a ser independiente del tiempo, como por la identidad de Jacobi. Hay una 4ª invariante? No puede ser: vimos por encima de la máxima superintegrability sólo permite 3. Pero tenga en cuenta, la fijación de los signos, factores, etc., que $\epsilon_x \epsilon_y=J^2+K^2$, por lo que uno de los cuatro es dependiente de los otros tres, de una forma no lineal. Ufff!....

Answer 2

No hay ninguna contradicción en absoluto y que sus preguntas pueden ser contestadas a la vez.

Un aislado con sistema de $s$ grados de libertad ha $2s-1$ integrales de movimiento ya que las soluciones para las coordenadas $q_i$ implicar $2s-1$ constantes (determinado por las condiciones iniciales). El $2s$th puede ser resuelto en términos de $t-t_0$ donde $t_0$ puede ser elegido de forma arbitraria. Sin embargo, no todas estas integrales de movimiento son aditivos. Por aditivo integral de movimiento que se entiende que es la suma de corresponsal integral de movimiento de los subsistemas aislados.

Estos aditivos integral de movimiento, normalmente llamado cantidades conservadas, son los que se originó a partir de algunos continua de la simetría del sistema, y puede ser calculada a través del Teorema de Noether. Sin embargo, a menos que me perdí algunos sutileza hay 10 conservado cantidades: la energía E (asociados a tiempo de traducción), el impulso a $\vec P$ (asociada a tres el espacio de la traducción), el momento angular de $\vec L$ (asociada a tres rotaciones) y el vector $t\vec P-M\vec R_{cm}$ (asociada a tres de Galileo aumenta). Usted puede leer más en la sección tres de esta referencia.