Qué tipo de triángulo satisface: $8R^2 = a^2 + b^2 + c^2$ ?

Question

En un $\displaystyle\bigtriangleup$ ABC,R es el circunradio y $\displaystyle 8R^2 = a^2 + b^2 + c^2$ entonces $\displaystyle\bigtriangleup$ El ABC es de los que tipo ?

Answer 1

En general, en $\triangle{ABC}$

Si $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \gt 2$ entonces $\triangle{ABC}$ es de ángulo agudo.

Si $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2$ entonces $\triangle{ABC}$ está en ángulo recto.

Si $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \lt 2$ entonces $\triangle{ABC}$ tiene un ángulo obtuso.

Supongamos que $A \le B \lt \pi/2$ y $A \le B \le C$ .

Básicamente, si $k = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$

entonces tenemos que

$3-2k = \cos 2A + \cos 2B + \cos (2A+2B)$

es decir

$3-2k = 2\cos(A+B)\cos(A-B) + 2\cos^2(A+B) -1$

es decir

$4-2k = 4\cos(A+B)\cos A\cos B$

Así que si $k > 2$ entonces $\cos(A+B) \lt 0$ por lo tanto, agudo.

$k = 2$ entonces $\cos(A+B) = 0$ por lo tanto, triángulo derecho.

$k < 2$ entonces $\cos(A+B) \gt 0$ , por lo tanto, obtuso.

De hecho, podemos ir más allá y demostrar que el máximo valor posible de $k$ es $k = \frac{9}{4}$ que corresponde a $\triangle{ABC}$ siendo equilátero, como sigue:

$4\sin^2 A + 4\sin^2 B + 4\sin^2 C = 9 + \delta$

es decir

$(2 - 2\cos2A) + (2-2\cos 2B) + 4(1- \cos^2 (A+B)) = 9 + \delta$

es decir $1 + 2\cos2A + 2\cos 2B + 4\cos^2(A+B) = -\delta$

es decir

$1 + 4\cos(A+B)\cos(A-B) + 4\cos^2(A+B) = -\delta$

es decir

$\sin^2(A-B) + \cos^2(A-B) + 4\cos(A+B)\cos(A-B) + 4\cos^2(A+B) = -\delta$

es decir

$\sin^2(A-B) + (\cos (A-B) + 2\cos(A+B))^2 = -\delta$ .

Por lo tanto, $\delta \le 0$ y así $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C \le \frac{9}{4}$

El caso $\delta = 0$ nos da $\sin(A-B) = 0$ y $\cos(A+B) = \frac{-1}{2}$ .

Por lo tanto, $A=B=C$ .

Así, el valor máximo de $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C$ es $\frac{9}{4}$ y se consigue cuando $A=B=C$ .

Answer 2

$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C$$ $$=1-(\cos^2A-\sin^2B)+1-\cos^2C$$ $$=2-\cos(A+B)\cos(A-B)-\cos C\cdot\cos C$$ $$=2-\cos(\pi-C)\cos(A-B)-\cos\{\pi-(A+B)\}\cdot\cos C$$ $$=2+\cos C\cos(A-B)+\cos(A+B)\cdot\cos C\text{ as }\cos(\pi-x)=-\cos x$$ $$=2+\cos C\{\cos(A-B)+\cos(A+B)\}$$ $$=2+2\cos A\cos B\cos C$$

$(1)$ Si $2+2\cos A\cos B\cos C=2, \cos A\cos B\cos C=0$

$\implies$ al menos uno de $\cos A,\cos B,\cos C$ es $0$ que necesita los respectivos ángulos $=\frac\pi2$

Pero podemos tener como máximo un ángulo $\ge \frac\pi2$

Por lo tanto, aquí tendremos exactamente un ángulo $=\frac\pi2$

$(2)$ Si $2+2\cos A\cos B\cos C>2, \cos A\cos B\cos C>0$

O bien todos los $\cos A,\cos B,\cos C$ debe ser $>0\implies$ todos los ángulos son agudos

o exactamente dos relaciones de coseno $<0$ que necesita los respectivos ángulos $> \frac\pi2,$ que es imposible para un triángulo

$(3)$ Si $2+2\cos A\cos B\cos C<2, \cos A\cos B\cos C<0$

O bien todos los ratios $<0$ que necesita los respectivos ángulos $> \frac\pi2,$ que es imposible para un triángulo

o exactamente una de las relaciones del coseno es $<0\implies$ el ángulo respectivo $> \frac\pi2,$