Evaluación de la (compleja) % integral $\int_\gamma \frac{e^{z+z^{-1}}}{z}\mathrm dz$usando residuos.

Question

Estoy tratando de evaluar la siguiente integral.

$$\int_\gamma \frac{e^{z+z^{-1}}}{z}\mathrm dz$$ donde $\gamma$ es la ruta $\cos(t)+2i\sin(t)$$0\leq t <4\pi$.

Por eso, $\gamma$ es una elipse que se ejecuta dos veces en sentido antihorario alrededor de $0$, que es donde la función tiene una singularidad. Estoy seguro de que tengo que usar el teorema de los residuos para evaluar esto.

1. (por tarea) yo no soy bueno con el teorema de los Residuos todavía. Puedo conseguir un mapa de ruta para la canónica solución a este problema? (es decir, la forma en que estoy "es, probablemente, supone que" hacerlo.) Puedo trabajar a través de los detalles del mismo.

2. (no de la tarea) Es posible resolver este problema con el de la serie de Laurent enfoque de esta respuesta el uso de los residuos para$e^z/z$$e^{-z}$? (o $e^z/\sqrt{z}$$e^{-z}/\sqrt{z}$, si que sería mejor).

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Ser claro acerca de dónde estoy confundido por la parte (1): veo que la hipótesis de los Residuos teorema se cumple: esta función es analítica con una singularidad aislada en $0$, estamos goin alrededor de dos veces, por lo $\int_\gamma f=4\pi i \operatorname{Res}(0,f)$. Pero a partir de aquí no sé cómo realizar los cálculos.