Una serie de arctan con raíces $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \arctan \frac{1}{n \sqrt{n}}$

Question

Para resolver un ejercicio hoy me encontré con esta serie y tengo curiosidad por saber si podemos evaluarla. Aquí está:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \arctan \frac{1}{n \sqrt{n}}$$

Me suena las campanas acerca de algunas otras series con arctan que he pero no pude ver alguna similitud en cómo empezar. Wolfram da una aproximación de $1.41379$. Tenga en cuenta que $\sqrt{2} \approx 1.4142$. Demasiado triste!!

Answer 1

Deje que

$$F(a) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \arctan \frac{a}{n \sqrt{n}}$$

$$F'(a) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a^2+n^3}$$

Utilizando wolfram obtenemos

$$F'(a) = -\frac{1}{3} \sum \frac{\psi(-\omega)}{\omega+1}$$

Que se suma sobre las raíces de la ecuación $$\omega^3+3\omega^2+3\omega+1+a^2=0$ $

No sé de la complejidad de encontrar la anti derivada.