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Desigualdad rara

Que x,y,z ser números verdaderos tales que cosx+cosy+cosz=0 y cos3x+cos3y+cos3z=0 demuestran que cos2xcos2ycos2z0.

5voto

Faiz Puntos 1660

Conjunto

u:=cosx,v:=cosy,w:=cosz

Tenemos

u+v+w=0

y

cos3x+cos3y+cos3z=4u33u+4v33v+4w33w=4u3+4v3+4w3=0

Por lo tanto

u3+v3+w3=0

Ahora consideremos

cos2xcos2ycos2z=(2u21)(2v21)(2w21)

Además, contamos con

(u+v+w)3u3v3w3=3(u2v+u2w+v2u+v2w+w2u+w2v+2uvw)=0

u2v+u2w+u3+v2u+v2w+v3+w2u+w2v+w3+2uvw=0

2uvw=0

WLOG u = 0, v =-w

2v21=2w21 Y 2u21<0, la prueba se ha completado.

0voto

Farkhod Gaziev Puntos 6

Ajuste del cosx=a etcetera.

Tenemos a+b+c=0    (1) a3+b3+c3=(a+b)33ab(a+b)+c3=(c)3+3ab(c)+c3 a3+b3+c3=3abc    (2)

Otra vez como cos3x=4cos3x3cosx,

cos3x=04(a3+b3+c3)=3(a+b+c)=0    (3)

De (2),(3)3abc=0

por lo menos uno de los a,b,c es cero

Si c=0, (1),a+b=0b=a

cos2xcos2ycos2z=(2cos2x1)=(2cos2x1)20 as cosx=cosycos2x=cos2y

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