Que x,y,z ser números verdaderos tales que cosx+cosy+cosz=0 y cos3x+cos3y+cos3z=0 demuestran que cos2x⋅cos2y⋅cos2z≤0.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Conjunto
u:=cosx,v:=cosy,w:=cosz
Tenemos
u+v+w=0
y
cos3x+cos3y+cos3z=4u3−3u+4v3−3v+4w3−3w=4u3+4v3+4w3=0
Por lo tanto
u3+v3+w3=0
Ahora consideremos
cos2x∗cos2y∗cos2z=(2u2−1)(2v2−1)(2w2−1)
Además, contamos con
(u+v+w)3−u3−v3−w3=3(u2v+u2w+v2u+v2w+w2u+w2v+2uvw)=0
u2v+u2w+u3+v2u+v2w+v3+w2u+w2v+w3+2uvw=0
2uvw=0
WLOG u = 0, v =-w
2v2−1=2w2−1 Y 2u2−1<0, la prueba se ha completado.
Ajuste del cosx=a etcetera.
Tenemos a+b+c=0 (1) ⟹a3+b3+c3=(a+b)3−3ab(a+b)+c3=(−c)3+−3ab(−c)+c3 ⟹a3+b3+c3=3abc (2)
Otra vez como cos3x=4cos3x−3cosx⟹,
∑cos3x=0⟹4(a3+b3+c3)=3(a+b+c)=0 (3)
De (2),(3)3abc=0
⟹ por lo menos uno de los a,b,c es cero
Si c=0, (1),a+b=0⟺b=−a
⟹cos2xcos2ycos2z=∏(2cos2x−1)=−(2cos2x−1)2≤0 as cosx=−cosy⟹cos2x=cos2y