Desigualdad rara

Question

Que $x,y,z$ ser números verdaderos tales que $\cos x+\cos y+\cos z=0$ y $\cos{3x}+\cos{3y}+\cos{3z}=0$ demuestran que $\cos{2x}\cdot \cos{2y}\cdot \cos{2z}\le 0$.

Answer 1

Conjunto

$$u:=cosx , v:=cosy , w:=cosz$$

Tenemos

$$u + v + w = 0$$

y

$$cos3x + cos3y + cos3z = 4u^3 - 3u + 4v^3 - 3v + 4w^3 - 3w = 4u^3 + 4v^3 + 4w^3 = 0$$

Por lo tanto

$$u^3 + v^3 + w^3 = 0$$

Ahora consideremos

$$cos2x * cos2y * cos2z = (2u^2-1)(2v^2-1)(2w^2-1)$$

Además, contamos con

$$(u+v+w)^3 - u^3 - v^3 - w^3 = 3(u^2v+u^2w+v^2u+v^2w+w^2u+w^2v+2uvw) = 0$$

$$u^2v+u^2w+u^3+v^2u+v^2w+v^3+w^2u+w^2v+w^3+2uvw = 0$$

$$2uvw = 0$$

WLOG u = 0, v =-w

$2v^2-1=2w^2-1$ Y $2u^2-1 < 0$, la prueba se ha completado.

Answer 2

Ajuste del $\cos x=a$ etcetera.

Tenemos $\displaystyle a+b+c=0\ \ \ \ (1)$ $\displaystyle\implies a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3+-3ab(-c)+c^3$ $\displaystyle\implies a^3+b^3+c^3=3abc\ \ \ \ (2)$

Otra vez como $\displaystyle\cos3x=4\cos^3x-3\cos x\implies,$

$\sum\cos3x=0\implies 4(a^3+b^3+c^3)=3(a+b+c)=0\ \ \ \ (3)$

De $\displaystyle (2),(3) 3abc=0$

$\displaystyle\implies $ por lo menos uno de los $a,b,c$ es cero

Si $c=0,$ $(1), a+b=0\iff b=-a$

$\displaystyle\implies\cos2x\cos2y\cos2z=\prod(2\cos^2x-1)=-(2\cos^2x-1)^2\le0$ as $\cos x=-\cos y\implies \cos^2x=\cos^2y$