Prueba $|\int_{C}f(z)\, dz|\leq10M$ cuando $|f(z)|\leq M$ $D=\{|z|=50\}$

Question

Estoy tratando de resolver una pregunta de mi complejo de análisis de prueba de que No he podido hacer durante la prueba en orden a la práctica de la próximo examen.

El problema es el siguiente:

Deje $f:\,\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ ser analítica de la función. Suponga que $|f(z)|\leq M$ por cada $z$ s.t $|z|=50$.

Considere la posibilidad de la mitad superior de la elipse $C=\{2x^{2}+y^{2}=50|\, y\geq0\}$.

Demostrar $|\int_{C}f(z)\, dz|\leq10M$

Lo que he intentado:

Desde $f$ es analítica, si $|C|\leq L$ si $|f(z)|\leq M$ en $C$ tenemos que $|\int_{C}f(z)\, dz|\leq ML$.

También sabemos que $$\max_{z\leq50}|f(z)|=\max_{z=50}|f(z)|\leq M$$

Si $$2x^{2}+y^{2}=50$$ then $$x^{2}+y^{2}=50-x^{2}\leq50$$ por lo tanto para cada $z$ $C$ tenemos $|f(z)|\leq M$.

A partir de aquí creo que solo queda mostrar $|C|\leq10$ que estoy incapaz de hacer.

Por favor alguien puede ayudarme ? Supongo que estoy en el camino correcto, pero yo no podía enlazado $|C|$ desde arriba por $10$

Answer 1

Que $\gamma(t) := t$ $t \in [-5,5]$. $C + \gamma$ es un camino cerrado, por lo tanto $$\int_{C} f(z) \, dz + \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0$$ by Cauchy's integral theorem. Thus $%$ $\left| \int_C f(z) \, dz \right| = \left|\int_{\gamma} f(z) \, dz \right| \leq M \cdot |\gamma| = 10 M$

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En realidad, es imposible de probar $|C| \leq 10$. Para encontrar un límite inferior de $|C|$ calcular la longitud de la ruta roja:

$\hspace{80pt}$

Por el teorema de Pitágoras, esta longitud es igual a $$2 \cdot \sqrt{5^2+\sqrt{50}^2} = 2 \cdot \sqrt{75} \approx 17,32

Por lo tanto en particular $|C| >17$.