¿Significado de un discreto sub espacio topológico de?

Question

Dado un espacio topológico $X$ y un conjunto de $U\subseteq X$, ¿cuál es el significado de $U$ ser un discreto sub-espacio $X$?

¿Sé lo que un espacio discreto es, por lo que entiendo, el significado es que cada $A\subseteq U$ está abierto en la topología relativa en $U$? ¿Y si lo entiendo correctamente, dado % está abierta en $U$ $X$, esto aplicará que $A$ abierta en $X$ así?

Por favor arreglarme si estoy equivocado, sólo quería asegurarse de que no me equivoco.

Answer 1

Esto significa que la topología de subespacio de $U$ inducida por $X$ es la misma topología la topología discreta.

Sí, si $U$ está abierto en $X$ $A$ está abierto en $U$ $A$ está abierto en $X$.

"Yo sí sé lo que es un espacio discreto es, en lo que a mi entender, el significado es que cada una de las $A\subseteq U$ es abierto en la topología relativa en $U$"

Sí, la topología de subespacio (o relativa de la topología) significa que $A \subseteq U$ es abierto si y solo si existe un conjunto abierto $O$ $X$ tal que $O \cap U = A$.

El discreto topología la topología en la que cada conjunto es abierto. Esta es inducida por la métrica discreta.

Consideremos el conjunto a$U=\mathbb Z$$X=\mathbb R$. A continuación, $U$ dotado de la topología de subespacio es un espacio discreto, en particular, cada singleton $\{k\}$ es abierto en la topología de subespacio. Por supuesto, esto es falso para el conjunto $\{k\} \subseteq \mathbb R$.

Answer 2

Derecho básicamente. Un ejemplo será útil fou usted.

Que $X=\Bbb R$ con la topología usual. Y $U=\Bbb N=\{1,2,\cdots,n\cdots\}$. Entonces $U$ es un subespacio de $X$ con la topología discreta.

Si está abierto en $U$ $X$ y está abierta en $A$ $U$ $A$ está abierto en $X$ de hecho!