Haciendo una biyección en un diffeomorphism

Question

Dado un conjunto de $M$, que se puede hacer en un liso múltiple y una biyección $f:M\to M$, ¿existe una estructura diferenciable en $M$ tal que $f$ es un diffeomorphism? En caso de que no siempre es así, ¿qué debe $M$ y $f$ satisfacen para hacer eso posible? ¿Si dicha estructura existe, es única en algún sentido, en general, son las dos estructuras diferenciables en $M$ compartir la disired propiedad diffeomorphic uno al otro?

Answer 1

Proferir un contraejemplo:

Si el conjunto de puntos no fijos de $f$ es no vacío y finito, no podemos encontrar una estructura diferenciable. El conjunto de puntos fijos de un diffeomorphism siempre está cerrado, pero el complemento de un no-vacío conjunto finito en un múltiple nunca está cerrado.

No sé qué requisitos extras esto haría verdadera.