¿Cómo "coordinar bash" un problema de geometría?

Question

¿Cómo se realiza la "coordinación de críticas"? He leído a través de este que se dio alguna información útil, pero no sé aún cómo realizar. Lo que yo sé acerca de coordinar ataques:

• Coordinar ataques es la asignación de figuras geométricas puntos en el plano coordenado.
• Esto implica el uso de fórmulas tales como la fórmula de la distancia, la fórmula de la pendiente, del cordón del teorema del punto a distancia en línea, etc.

Alguien puede proporcionar un ejemplo o dos?

Answer 1

Puesto que usted quería un par de ejemplos, aquí hay dos problemas donde "coordinar ataques" puede ser utilizado. Nota: Ambos de estos problemas fueron sacados desde el 2004 Harvard-MIT de Matemáticas del Torneo.

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Ejemplo 1: $\Delta ABC$ tiene longitudes de los lados $AB = 8$, $AC = 15$, y $BC = 17$. Si $D$, $E$, y $F$ son el circuncentro, baricentro, incentro y, respectivamente, de $\Delta ABC$, hallar el área de $\Delta DEF$.

Desde $\Delta ABC$ es un $8$-$15$-$17$ a la derecha del triángulo, se puede colocar en el plano de coordenadas. Vamos $A = (0,0)$, $B = (8,0)$, y $C = (0,15)$. (Comprobar por ti mismo que $AB = 8$, $AC = 15$, $BC = 17$.)

El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo. En un triángulo rectángulo, el circuncentro es el punto medio de la hipotenusa. La hipotenusa $BC$ tiene extremos $B = (8,0)$$C = (0,15)$, el punto medio es $D = (\tfrac{8+0}{2},\tfrac{0+15}{2}) = (4,\tfrac{15}{2})$.

El centroide de un triángulo es la intersección de las medianas del triángulo. Esto suena difícil de hacer con las coordenadas, pero como resulta que el centroide de un triángulo es simplemente el promedio de las coordenadas de los tres vértices. Por eso, $E = (\tfrac{0+8+0}{3},\tfrac{0+0+15}{3}) = (\tfrac{8}{3},5)$.

El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita. El área de $\Delta ABC$$K := \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$, y el semi-perímetro es $s := \tfrac{1}{2}(8+15+17) = 20$. Por lo tanto, el radio de la circunferencia inscrita es $r = \frac{K}{s} = \frac{60}{20} = 3$. Así, la distancia de $F$ a cada uno de los tres lados es $3$ unidades. Desde $AB$ se encuentra en el $x$-eje ($y = 0$), $F$ debe estar en una de las líneas de $y = \pm 3$. Desde $AC$ se encuentra en el $y$-eje ($x = 0$), $F$ debe estar en una de las líneas de $x = \pm 3$. Desde $F$ está dentro de $\Delta ABC$, $F = (3,3)$.

Ahora que tenemos las coordenadas de $D$, $E$, y $F$, simplemente podemos utilizar el Cordón de la fórmula para encontrar que el área de $\Delta DEF$$\tfrac{1}{2}\left|4 \cdot 5 + \tfrac{8}{3} \cdot 3 + 3 \cdot \tfrac{15}{2} - \tfrac{8}{3} \cdot \tfrac{15}{2} - 3 \cdot 5 - 4 \cdot 3 \right| = \tfrac{7}{4}$.

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Ejemplo 2: Un tetraedro tiene todas sus caras triángulos con lados $13$, $14$, $15$. ¿Cuál es su volumen?

El volumen de un tetraedro es $\tfrac{1}{3}Bh$ donde $B$ es el área de la base y $h$ es la altura. Si usted sabe que un $13$-$14$-$15$ el triángulo es un $5$-$12$-$13$ triángulo derecho pegado a un $9$-$12$-$15$ triángulo rectángulo, entonces es fácil conseguir que el área de cada cara es $\tfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$. Pero ¿cómo encontrar a la altura? Hay un no-coordinar la solución en la página 14 de sus soluciones, pero aquí es una coordenada bash solución:

Deje $A,B,C,D$ ser los vértices del tetraedro con $AB = CD = 13$, $AC = BD = 14$, y $BC = AD = 15$. Orientar el tetraedro tal que $A = (-5,0,0)$, $B = (0,12,0)$, $C = (9,0,0)$, y $D = (x,y,z)$. (Comprobar por ti mismo que $AB = 13$, $AC = 14$, $BC = 15$.) Desde la base de la $\Delta ABC$ se encuentra en el $xy$-plano, a la altura de la $D$ $\Delta ABC$es simplemente $z$.

Para resolver por $z$, tendremos que utilizar los hechos de que $CD = 13$, $BD = 14$, y $AD = 15$, junto con la fórmula de la distancia: $$CD^2 = (x-9)^2+y^2+z^2 = 13^2$$ $$BD^2 = x^2+(y-12)^2+z^2 = 14^2$$ $$AB^2 = (x+5)^2+y^2+z^2 = 15^2$$ Subtracting the first equation from the third gives $28x-56 = 56$, and so, $x = 4$. Substitute this back in to get $y^2+z^2 = 144$ and $(y-12)^2+z^2 = 180$. Taking the difference between these equations yields $24y-144=-36$, and so, $y = \tfrac{9}{2}$. Substituting this back in and solving for $z$ gives $z = \pm \tfrac{3\sqrt{55}}{2}$. So the height of the tetrahedron is $h = |z| = \tfrac{3\sqrt{55}}{2}$, and thus, the volume is $\tfrac{1}{3}Bh = \tfrac{1}{3} \cdot 84 \cdot \tfrac{3\sqrt{55}}{2} = 42\sqrt{55}$.

Answer 2

Básicamente, con el fin de demostrar un teorema geométrico, que acaba de poner la situación en un plano Euclidiano, y hacer el álgebra. Por ejemplo, he aquí una prueba de la ley de los cosenos:

Digamos que tenemos un triángulo con vértices en a $A=(0,0), B=(0, b),$ $C=(c_1, c_2)$ donde $b,c_1 > 0$. Tenga en cuenta que este caso es general, ya que siempre puede girar/traducir un triángulo de forma que se encuentra en la mitad derecha del plano con cualquier vértice en el origen, y acostarse de lado positivo de la $y$-eje. El ángulo en el $A$ es sólo $\theta = \pi/2 - \tan^{-1}(c_2/c_1)$. A continuación,$\cos(\theta) = \frac{c_2/c_1}{\sqrt{1+(c_2/c_1)^2}}$. Entonces tenemos $$\overline{AB}^2+\overline{AC}^2-2\overline{AB}\overline{AC}\cos(\theta) = $$ $$b^2+c_1^2+c_2^2-2b\sqrt{c_1^2+c_2^2}\cdot\frac{c_2}{\sqrt{c_1^2+c_2^2}} = $$ $$(c_2-b)^2+c_1^2 = \overline{BC}^2$$

Answer 3

Notación: Vamos a $\triangle (PQR)$ el valor del área del triángulo PQR. Deje $|ST|$ denotar la longitud del segmento de línea $ST.$

Deje $A,B,C$ ser los vértices de un triángulo. Deje $C'$ ser un punto en $AB$ $B'$ ser un punto en $AC,$ $C'$ estrictamente entre el $A,B,$ $B'$ estrictamente entre el $A,C.$

Deje $0<x<1$. Deje $C''$ mentira en $C'C$ y deje $B''$ mentira en $B'B$ tal que $$|C'C''|=x|C'C| \quad \text { and }\quad |B'B''|=(1-x)|B'B|.$$ Theorem: The ratio of $\triángulo (AB"C")$ to the area of the quadrilateral $BC B C$ is $x(1-x).$

Prueba: Elegir ortogonal coordinar ejes con $A=(0,0).$ Deje $p\times q$ el valor del escalar exterior del producto. Es decir, $(a,b)\times (c,d)=ad-bc.$ utilizamos las siguientes herramientas:

(1). El área de cualquier triángulo $APQ$ $\frac {1}{2}|P\times Q|.$

(2). Las reglas básicas para el exterior del producto: (i).$ u\times v=-(v\times u) .$ (ii). $u\times u=0.$ (iii). Real $r,s$ y vectores $u,v$ hemos $(ru)\times v=u\times rv=r(u\times v),$ $(rs)(u\times v)=r((su)\times v)=(rsu\times v),$ y $(r+s)(u\times v)=(ru)\times v +(su)\times v.$

Ahora vamos a $B'=y C$ $C'= z B$ $y,z \in (0,1).$ $\triangle (AB'C')=\frac {1}{2}yz |B\times C| =yz \triangle (ABC).$ El área de un cuadrilátero $BC'B'C$ por lo tanto $$\triangle (ABC)-\triangle (AB'C')=(1-yz)\triangle (ABC).$$

Tenemos $B''=xB'+(1-x)B$ $C''=(1-x)C'+xC.$ el Enchufe de los valores de $B'=yC$ $C'=zB$ en estos y calcular el $\triangle (AB''C'')=\frac {1}{2}|B''\times C''|.$ El cálculo sin esfuerzo se simplifica a $$\frac {1}{2}x(1-x)(1-yz)|B\times C|=x(1-x)\cdot (1-yz)\triangle (ABC).$$

Para una prueba sin coordenadas, demostrar que la línea thru $C''$ paralelo a $AB,$ y la línea thru $B''$ paralelo a$AC$, ambas cumplen con el segmento de $BC$ en un punto común $D.$ Subdividir $ABC$ en 6 triángulos,uno de los cuales es $AB''C"$ y una es $B''C''D,$ calcular las áreas de cada uno de los 5 triángulos de distinto AB"C" y subtact su total $\triangle (ABC)$ encontrar $\triangle (AB''C'').$ Una complicación es que, de la lectura de los vértices del triángulo $AB''C''$ en contra de las manecillas de $A,$ pueden ser en ese orden, o en el orden de $A,C'',B''. $