Asumir que $X_1,\cdots,X_n$ son v.a. independientes, no necesariamente iid,
Que $S_n=X_1+\cdots+X_n$, supongamos que $S_n$ converge en probabilidad, ¿cómo podemos mostrar que $S_n$ converge a.s.?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podemos usar desigualdad de Ottaviani: si ponemos $M_k:=\max_{1\leqslant i\leqslant k}|S_i|$ y $S_{k,n}:=\sum_{i=k+1}^nX_i$, entonces para todas las $\varepsilon >0$ tenemos $$\min_{1\leqslant k\leqslant n}P(|S_{k,n}|\leqslant\varepsilon)P(|M_n|>2\varepsilon)\leqslant P(|S_n|>\varepsilon).$ $
Poner $A_m:=\sup_{k\in\mathbb N^*}|S_{m+k}-S_m|$ y $A:=\inf_{m\in\mathbb N^*}A_m$. Tenemos $$\{\{S_n\}\mbox{ doesn't converge}\}=\{A\neq 0\}\subset\bigcup_{\varepsilon\in\mathbb Q^+}\bigcap_{m\in\mathbb N^*}\{A_m>\varepsilon\}$ $ y desigualdad de $$\{A_m>\varepsilon\}=\bigcup_{r\in\mathbb N^*}\left\{\sup_{1\leqslant k\leqslant r}|S_{m+k}-S_m|>\varepsilon\right\}.$ $ Ottaviani da % $ $$\min_{1\leqslant k\leqslant r}P(|S_{m+r}-S_{m+k}|\leqslant\varepsilon)P\left(\max_{1\leqslant k\leqslant r}|S_{m+k}-S_m|>2\varepsilon\right)\leqslant P(|S_{r+m}-S_m|>\varepsilon).$fijamos $\delta>0$; podemos elegir $N=N(\varepsilon,\delta)$ tal que $0\leqslant k\leqslant r$ y $m\geqslant N$, $P(|S_{m+r}-S_{m+k}|>\varepsilon)\leqslant\delta$. Tenemos $$P\left(\max_{1\leqslant k\leqslant r}|S_{m+k}-S_{m+r}|>\varepsilon\right)\leqslant\frac{\delta}{1-\delta},$ $ por lo tanto $P(A_m>\varepsilon)\leqslant\frac{\delta}{1-\delta}$. Tenemos $$0\leqslant P\left(\bigcap_{p\in\mathbb N^*}(A_p>\varepsilon)\right)\leqslant P(A_m>\varepsilon)\leqslant\frac{\delta}{1-\delta},$ $ % los $\varepsilon\in\mathbb Q^+$, tenemos $P\left(\bigcap_{p\in\mathbb N^*}(A_p>\varepsilon)\right)=0$, por lo tanto, $P(A\neq 0)=0$ y tenemos la convergencia casi segura.
