¿Por qué definir la norma en $L_p$ ¿en ese sentido?

Question

Quién definió por primera vez la norma en $L_p$ espacio como $$\left(\int{\lvert f(x) \rvert^p}\right)^{1/p}$$

¿Hay alguna referencia para esto? ¿Es una simple extensión de $L_2$ ?

$L_p$ El espacio tiene unas propiedades muy bonitas. Creo que se basa en la definición de esta norma, pero esta definición no parece venir naturalmente o tal vez no puedo ver cómo viene naturalmente. Entiendo que esta definición da una norma. Sólo quiero saber el pensamiento subyacente de la misma.

¿Son esas bonitas propiedades sólo por casualidad o tiene realmente relación con esta definición?

Answer 1

En cierto sentido, hay básicamente $4$ $L^p$ espacios con $p \geq 1$ : $L^1,L^2,L^\infty$ y todo lo demás. Específicamente:

• $L^2$ es la única "Hilberable" $L^p$ espacio, lo que le confiere una gran cantidad de propiedades adicionales.
• Para los espacios de medida "típicos", todos los $L^p$ espacios excepto $L^\infty$ son separables.
• Para cualquier espacio de medida, $L^p$ es reflexivo para todo $1<p<\infty$ . Para los espacios de medida "típicos", $L^1$ y $L^\infty$ no son reflexivos.
• $L^1$ pierde algunos teoremas sostenidos por todos los demás $L^p$ porque para los espacios de medida "típicos" no es isomorfo al espacio dual de ningún espacio de Banach. (Sería el dual de $L^\infty$ pero suele ser muy pequeño). Esto significa que el teorema "la bola unitaria de un espacio que es el dual de algo es débilmente compacta" no se aplica a $L^1$ y, por tanto, tampoco muchas de sus consecuencias.
• $L^\infty$ también pierde muchos otros teoremas sostenidos por otros $L^p$ espacios... y francamente tengo algunos problemas para dar una explicación sencilla de por qué. En la teoría de las EDP muchos de los teoremas relevantes fallan porque la aproximación por funciones suaves con soporte compacto falla en $L^\infty$ pero hay algo más general que hace que los teoremas en $L^\infty$ más escurridizo.

Aquí cada vez que digo "típica" mis afirmaciones incluyen la medida de Lebesgue y todas las medidas absolutamente continuas con respecto a ella.

Sé que un lugar donde los valores "inusuales" de $p$ (es decir, no $1,2$ o $\infty$ ) aparece en la teoría de los espacios de Sobolev, concretamente en la incrustación de Sobolev. En este caso, un espacio de Sobolev de dimensión suficientemente alta se incrustará en un espacio de Sobolev con menos regularidad y más integrabilidad. Por ejemplo, en dimensión $6$ , $W^{1,2}$ se incrusta en $L^3$ . En la dimensión $2$ , $W^{1,2}$ se incrusta en $L^p$ para todos $1 \leq p < \infty$ .

Answer 2

Los casos $p=1,2$ son bastante naturales: la primera es una definición muy razonable de "lo grande que es una función" y la segunda surge de la teoría del espacio de Hilbert: una teoría bien desarrollada y útil. Si se quiere generalizar esto para una función arbitraria $p$ se ve obligado a considerar $\int |f(x)|^p$ . Esto no es una norma para la arbitrariedad $p$ porque $\int |a f(x)|^p = |a|^p \int |f(x)|^p$ y hay exactamente una manera de remediarlo: introduciendo el poder $\frac{1}{p}.$ Milagrosamente (¿o quizás no?) el $L^p$ la norma que construimos es realmente una norma.

El caso más curioso es $p=\infty$ . A primera vista, no hay ninguna razón para llamar a la norma esencial supremum $L^\infty$ ya que no tiene nada que ver con las integrales. El siguiente resultado muestra que bajo ciertas condiciones la norma del infinito es el caso límite de la $p$ norma:

Si $f\in L^p \cap L^\infty$ , $p<q<\infty$ entonces $f \in L^q$ y $\lim_{q \to \infty} ||f||_q = ||f||_\infty$ Por lo tanto, nombrar $L^{\infty}$ así se justifica.

Dicho esto, $L^{\infty}$ suele ser el peor espacio para trabajar: véase la respuesta de @Ian para más detalles.

Answer 3

Si p es cercano a 1, la norma p da más importancia a las regiones donde la función es pequeña y menos a las regiones donde es grande. Si p es grande, la norma da menos importancia a las regiones donde la función es pequeña y más a las que es grande.

Por lo tanto, variar a nos permite decidir en qué queremos centrarnos.

Answer 4

De forma muy aproximada e informal, así es como yo entiendo esta definición (y me parece muy natural)

Partiendo de un espacio de dimensión finita, supongamos una función $f$ tiene componentes finitos, digamos $f_1, ...f_n$ . Se quiere entender su comportamiento determinado a través de sus componentes. Una forma de hacerlo es promediando todos sus componentes de alguna manera (aquí elegimos $|f_i|^p$ ). Puede elegir "media aritmética" $\displaystyle \frac {1}{p} \sum\limits_{i=0}^n |f_i|^p $ o "media geométrica" $\displaystyle \big(\sum\limits_{i=0}^n |f_i|^p\big)^{1/p} $ . La primera no es tan adecuada porque la media habitual no es eficiente para controlar el crecimiento de la función exponencial, mientras que la segunda lo controla mucho mejor, siendo así un mejor candidato para una norma.

Ahora pasa a un espacio de dimensión infinita. Tendrías componentes "infinitos" en la norma, así que terminarías con algo como $||f||_p = \big(\sum\limits_{i=0}^\infty |f_i|^p\big)^{1/p}$ . Esto te hace pensar en la notación integral, porque la integral es esencialmente una suma infinita (piensa en cómo se construye la integral de Riemann). Además no tendrás más "componentes" sino $f$ mismo. Finalmente, se termina con algo como la definición.

Answer 5

Los espacios más agradables estéticamente son los que están completos. Por lo tanto, el $L_p$ Los espacios atraen a la gente porque son completos bajo la norma que acabas de mencionar, cuya prueba no es nada fácil. Además, la norma del espacio $L_2$ tiene algo que todos los demás $L_p$ espacios no tiene: Es una norma que de hecho puede ser expresada como un producto interno. Por eso $L_p$ espacios se llaman Banach espacios, mientras que $L_2$ también se llama Hilbert espacio.

La razón por la que esto parece ser natural sólo se hará evidente cuando se asuma la familiaridad con la integración de Lebesgue. En efecto, las múltiples propiedades de la integral de Lebesgue son insuperables. La definición de integral de Lebesgue puede parecer arbitraria, pero las propiedades que confiere (integrabilidad de funciones no limitadas en conjuntos aleatorios, completitud, teoremas de convergencia) son realmente notables. La razón por la que la $L_p$ espacio es porque a uno le gustaría ver tales funciones con mayor generalidad. Como ya he dicho, $L_2$ es un espacio de Hilbert, por lo que confiere una plétora de propiedades a sus miembros. Deberías leer a H.L.Royden. Todo el libro cubre la integración de Lebesgue, y $L_p$ espacios en detalle. Puede que no se lea como una novela, pero ceirtament responderá a su pregunta.

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