Encontrar un $x \in \mathbb R$ para que $\|I - x A\|_2$ se reduce al mínimo

Question

Sea $A \in \mathbb R^{n \times n}$ y que $I$ denotan el ( $n \times n$ -)matriz de identidad. Entonces quiero encontrar una $x \in \mathbb{R}$ para que..:

$$\|I - x A\|_2$$

se convierte en mínimo (donde $\|\cdot\|_2$ denota la norma de la matriz euclidiana).

Supongamos que $A != 0$ para excluir el caso trivial en el que cualquier $x$ se puede elegir. Creo que es obvio que ese mínimo existe, porque $\|I - x A\|$ puede considerarse una función real (continua) con respecto a $x$ que, por supuesto, siempre es positivo, y $\lim_{\|x\| \to \infty} \|I - x A \|_2 = \infty$ . Así que debe haber (al menos un) mínimo, y debe depender de alguna manera de $A$ .

Sin embargo, no sé muy bien cómo encontrarlo. He intentado escribir $\|I - x A\|_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n |\delta_{ij}- x a_{ij}|^2}$ y pensé en diferenciar esa cosa, pero de algunos de los cuadrados que pudimos sacar $x$ y de otros (donde $\delta_{ij} = 1$ ) no podemos, así que me temo que $\frac d{dx}$ de esa cosa se convertiría rápidamente en muy desagradable, por no hablar de ponerlo $= 0$ y resolviéndolo para $x$ así que francamente sospecho que hay una manera más fácil. ¿Podríamos de alguna manera traer los valores propios, el radio espectral o algo así en la ecuación, o utilizar una de las propiedades de la norma de la matriz?

Answer 1

Sólo minimiza el cuadrado:

\begin{eqnarray} \|I-xA\|^2 &=& \sum_i \sum_j (\delta_{ij} -x \delta_{ij} A_{ij} + x^2 A_{ij}^2) \\ &=& n - x \sum_i A_{ii} + x^2 \sum_i \sum_j A_{ij}^2 \\ &=& n -x \operatorname{tr} A + x^2 \|A\|_F^2 \end{eqnarray}

Suponiendo que $A \neq 0$ tenemos (después de diferenciar con respecto a $x$ y puesta a cero): $x = { \operatorname{tr} A \over 2\|A\|_F^2 }$ .

Answer 2

La norma puede expresarse con la traza: $$ \forall B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \quad ||B||_2^2 = \text{tr}(B^TB) $$ Usando esto: $$ ||I - xA||_2^2 = \text{tr}((I - xA)^T(I - xA)) $$ Después de expandir esto encontrarás un polinomio de 2º grado en $x$ . Sabes cómo encontrar el mínimo de esto.

Answer 3

Pista: Por el Teorema de Pitágoras para espacios de producto interior $$\|I- xA\|^2 \geq \| I -\proj_{A}(I) \|^2$$