Esto es cierto siempre y cuando $K$ es una división de campo para $G$, es decir, siempre y cuando todas las representaciones irreducibles de $G$ $\bar{K}$ puede ser definido a lo largo del $K$. Eso es porque estas representaciones será más o menos "lo mismo" como los más complejos. Concretamente, cada representación compleja de $Q_8$ puede ser realizado más de $\mathbb{Z}[i]$. Elegir un alojamiento ideal $\mathfrak{p}$ $\mathbb{Z}[i]$ y reducir todas las entradas de la matriz modulo $\mathfrak{p}$. Obtendrá una representación irreducible sobre el residuo de campo $K$$\mathfrak{p}$. Si el primer ideal $\mathfrak{p}$ se divide en $\mathbb{Z}[i]$, entonces la característica de $K$$p\equiv 1\pmod{4}$$K=\mathbb{F}_p$. Si el primer ideal es inerte, entonces la característica de $K$$p\equiv 3\pmod{4}$$K=\mathbb{F}_{p^2}$.
Intuitivamente, se puede pensar en ello de esta manera: si $p\equiv 1\pmod 4$, $\mathbb{F}_p$ contiene la cuarta raíces de la unidad, así que no hay nada que le impida la realización de la habitual complejo de representaciones sobre $\mathbb{F}_p$, por la simple sustitución de $\pm i$ con estos cuarta raíces de la unidad. Si $p\equiv 3\pmod 4$, luego de darse cuenta de sus representaciones, es necesario pasar a la extensión cuadrática para adquirir la cuarta raíces de la unidad.
En resumen, para cualquier extraño $p$, hay un campo finito $K$ de los característicos $p$ tal que $K[Q_8]\cong K[D_8]$. Pero dependiendo de $p$, $K$ podría ser del orden de $p^2$, en lugar de $p$.
También se puede expresar todo esto en términos de Wedderburn y la división de los anillos. El resultado es que tan pronto como se pasa a la división de campo de su división anillos son todos iguales a este campo base.
