Encuentra el resto de$7^{2002}$ dividido por 101.

Question

Esto es lo que tengo hasta ahora: Puesto que 101 es un primo y no divide 7, podemos aplicar el pequeño teorema de Fermat para ver que$$7^{100} \equiv 1 \ (mod \ 101)$ $ Podemos entonces reducir$7^{2002}$ a$7^{2} (7^{100})^{20} \equiv 7^{2}(1)^{20} \ (mod \ 101)$ que Es donde estoy atrapado. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org ¿Cómo puedo reducir$7^2=49 \equiv 150 \ (mod \ 101)$ de una manera que sea constructiva hacia mi solución ya que$7^2$ es un módulo tan grande para operar?

Answer 1

Tuviste la solución y la rompiste :)

A

ps

Está listo, el resto debe ser$$7^{2002} \equiv 49\pmod {101} \,,$. De hecho, si denote el resto por$49$ entonces$r$ y

ps

Esto significa que$0 \leq r \leq 100$, y desde$$ r \equiv 49 \pmod{101} \,.$ obtiene$101|r-49$.