Algunas condiciones para obtener ese$\int_1^{x}e^{f(t)}dt\sim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\exp(f(x))}{f'(x)}$

Question

Jugando con la función de $e^{t^2}$ I conjeturó el siguiente resultado :

Deje $f\in C^2(\Bbb{R},\Bbb{R})$, se asume que :

1. $f'(x)\rightarrow_{x \rightarrow +\infty}+\infty$
2. $\frac{f''(x)}{f'(x)}\int_1^{x}e^{f(t)-f(x)}dt\rightarrow_{x \rightarrow +\infty}0$

A continuación, $\int_1^{x}e^{f(t)}dt\sim_{x \rightarrow +\infty}\frac{\exp(f(x))}{f'(x)}$

Detalle de $\int_1^{x}e^{t^2}dt$

Por integración por partes tenemos $\int_1^{x}e^{t^2}dt=xe^{x^2}-1-\int_1^x 2t^2e^{t^2}dt$. Ahora podemos probar que $$\int_1^x 2t^2e^{t^2}dt\equiv_{+\infty} 2x^2\int_1^x e^{t^2}.$$ Proof. Denote $V(x)=\int_1^x 2t^2e^{t^2}dt$, the derivative gives us $$V'(x)=4x\int_1^xe^{t^2}dt+2x^2e^{x^2}=(2x^2e^{x^2})(1+\frac{4x\int_1^{x}e^{t^2}dt}{2x^2e^{x^2}}).$$ Moreover $\frac{4x\int_1^{x}e^{t^2}dt}{2x^2e^{x^2}}\rightarrow0$ it's easy to prove by using the fact that $\frac{4x\int_1^{x}e^{t^2}dt}{2x^2e^{x^2}}=\frac{2}{x}\int_1^x e^{t^2-x^2}dt$ and $0\le \frac{4x\int_1^{x}e^{t^2}dt}{2x^2e^{x^2}}\le 2\int_0^{1}e^{(1-s^2)x^2}ds$ and we conclude by Dominated convergence theorem. Finally, it is relatively easy to conclude that $\int_1^{x}e^{t^2}dt\equiv_{+\infty} \frac{e^{x^2}}{2x}$. ¿Alguien puede probar el 'teorema' ?

Answer 1

Podemos probar algo similar a su resultado con la alternativa (y en mi opinión, más sencillo) supuestos. Dependiendo de si estos supuestos son satisfactorios, este podría ser considerado como una respuesta parcial.

Su resultado se da con los supuestos de que:

1. $\int_a^\infty e^{f(x)}\ dx = \infty$

2. $f''(x) \in o\left(f'(x)^2\right)$

donde $a$ es alguna constante fija y donde $o$ denota la poca-o. Su primera suposición fácilmente implica mi primera suposición, pero no estoy seguro de cómo nuestra segunda hipótesis comparar.

En primer lugar, tenga en cuenta que tenemos $$\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{f(x)}}{f'(x)}\right) = \frac{f'(x)^2e^{f(x)} - f''(x)e^{f(x)}}{f'(x)^2} = e^{f(x)}\left(1 - \frac{f''(x)}{f'(x)^2}\right)$$

Tenga en cuenta que si $f''(x) \in o\left(f'(x)^2\right)$, entonces tenemos $$e^{f(x)} \sim e^{f(x)}\left(1 - \frac{f''(x)}{f'(x)^2}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{e^{f(x)}}{f'(x)}\right)$$ Ahora el tiempo que tenemos $$\int_a^\infty e^{f(x)}\ dx = \infty$$ entonces podemos concluir (a través del lema de abajo) que $$\int_a^x \frac{d}{dt}\left(\frac{e^{f(t)}}{f'(t)}\right)\ dt \sim \frac{e^{f(t)}}{f'(t)} \sim \int_a^x e^{f(t)}\ dt$$

Lema: Vamos a $f(x)$ $g(x)$ ser continua. Si $f(x) \sim g(x)$ $\int_a^\infty f(t)\ dt = \infty$ $$\int_a^x f(t)\ dt \sim \int_a^x g(t)\ dt$$ Prueba: Esta es una consecuencia de L'Hoptial la regla. Desde $\int_a^\infty f(t)\ dt = \infty$ (tenga en cuenta que desde $f(x) \sim g(x)$, esto necesariamente implica que la integral de $g$ también diverge a $\infty$), el límite de $$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\int_a^x f(t)\ dt}{\int_a^x g(t)\ dt}$$ es indeterminant de la forma $\frac{\infty}{\infty}$. La aplicación de la regla de L'Hospital con el teorema fundamental del cálculo da $$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\int_a^x f(t)\ dt}{\int_a^x g(t)\ dt} = \frac{f(x)}{g(x)} = 1$$ que es nuestro resultado deseado. $\square$

Como nota final, sabiendo el lema anterior nos permite casi adivinar este resultado con un poco de tocar el violín. Podemos hacer una conjetura que $$\int_a^x e^{f(t)} \ dt \sim g(t)e^{f(t)}$$ para algunos la función $g(t)$. Con el lema anterior, resulta natural vistazo a las funciones de $g$ que puede satisfacer $$e^{f(x)} \sim g'(x)e^{f(x)} + g(x)f'(x)e^{f(x)}$$ o, equivalentemente, $$g'(x) + g(x)f'(x) \sim 1$$ La elección más natural para que esto ocurra es de $g(x) = 1/f'(x)$ con la condición de que $g'(x) = -\frac{f''(x)}{f'(x)^2} \sim 0$.