$z=x+iy \in \mathbb C$ Todos sabemos la definición para el "conjugado" de $z$, $\bar{z}=x-iy$. Geométricamente esto es el reflejo de $z$ $y$ eje.
¿Mi pregunta es: no han definido $\underline{z}=-x+iy$ en su lugar? (esta es la reflexión en el eje de $x$) ¿Hay algo malo con él?
Estoy de acuerdo que el fórmula $|z|^2=z \bar{z}$ se ve mejor que $|z|^2=-z \underline{z}$, pero ¿hay algún problema más serio?
No, la cosa buena acerca de la conjugación es que es una automorphism: $\overline{zw} = \bar z\bar w$$\overline{z+w}=\bar z+\bar w$.
En el corazón, lo que conjugacy muestra es que, mientras que $i$ $-i$ son diferentes de los números complejos, que tienen exactamente el mismo comportamiento. Eso no es de extrañar, porque definimos $i$, de modo que $i^2=-1$, pero, a continuación,$(-i)^2=-1$. ¿Cómo podemos distinguir estos dos raíces cuadradas? Lo que si hemos definido los números complejos como $a+bi+cj$ donde$i+j=0$$i^2=j^2=-1$? Entonces cual sería el "principal" de la raíz cuadrada de $-1$? Realmente no hay manera de decirle. Con los números reales positivos, siempre podemos escoger la raíz cuadrada positiva, pero no podemos definir "positivo", en los números complejos. Esto produce una dualidad en los números complejos, representada por la conjugación.
Un gran inconveniente a este "conjugado menor" es que deja de ser una involución de anillo, ya que no envía 1 a 1.
Las mejores propiedades del conjugado provienen porque interactúa con las propiedades del anillo de esta manera y con las operaciones de adición y multiplicación. Tratar de encontrar un ejemplo de dos números complejos cuyo producto no obedece la regla multiplicativa que la conjugación ordinaria.
(Sugerencia: pagar simplemente pensar: $i$ hmmmm...)
Considere la ecuación de $z^2 + 1$. Como usted probablemente sabe, $i$ es una raíz de la ecuación. De hecho, este es el más comúnmente utilizado definición de $i$: un número tal que $i^2=-1$.
Pero $-i$ también es una raíz de $z^2+1$, así que ¿por qué no elegir este? Ok. Vamos a escribir $i'=-i$. Desde $i$ $i'$ comparten la misma definición, "todo" lo que es satisfecha por uno de ellos ha de ser satisfecho por el otro. Por ejemplo, desde la $(1+i)^4 = -4 $, debemos tener $(1+i')^4 = -4$; esto es cierto!
Cuando digo "todo", en realidad me refiero a todas ecuación polinómica. El principio general es el siguiente: si $i$ es una raíz de algunos polinomio $P(z)$ con coeficientes reales, entonces lo $i'=-i$. En el ejemplo anterior, el polinomio sería $P(z) = (1+z)^4 + 4$.
Este principio es más poderosa de lo que parece a primera vista. Por ejemplo, si $a+ib$ ( $a,b \in \Bbb R$ ) es una raíz de algunos polinomio $Q(z)$ con coeficientes reales, entonces $i$ es una raíz de $P(z) = Q(a+zb)$. Podemos deducir que $-i$ es una raíz de $P(z)$ $a-ib$ es una raíz de $Q(z)$. De la misma manera, se puede ver que $$ (a_1+ib_1) + (a_2+ib_2)=(a_3+ib_3) \iff (a_1-ib_1) + (a_2-ib_2)=(a_3-ib_3) $$ con $P(z) = (a_1+zb_1) + (a_2+zb_2)-(a_3+zb_3)$, y $$ (a_1+ib_1)(a_2+ib_2)=(a_3+ib_3) \iff (a_1-ib_1)(a_2-ib_2)=(a_3-ib_3) $$ (que el polinomio tomaría usted?)
La noción de conjugado es sólo una manera de formalizar todos estos "simetrías" entre el$i$$-i$. Por ejemplo, los dos últimos equivalencias escribir $$ \overline{z_1}+ \overline{z_2} = \overline{z_1+ z_2} ,\qquad \overline{z_1}\times \overline{z_2} = \overline{z_1\times z_2} $$
Comentario: el mismo tipo de cosas que podría hacer con $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ y ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. La idea general detrás de todo esto es que de la Teoría de Galois.
Números complejos $z$ y su % de conjugados $\bar{z}$tener la propiedad de que cada vez que $z$ es una raíz del polinomio $f(t)$ con coeficientes reales, entonces así es $\bar{z}$ una raíz del polinomio mismo $f(t)$, entonces necesario definir $\bar{z}$ $x-iy$. Esto es porque $f(t)$ debe ser un múltiplo de $ de $$q(t) = (t - z)(t-\bar{z}) = t^2 - (z+\bar{z})t + |z|^2$ y el coeficiente de $t$ $q(t)$ no es real, si utilizamos la definición de conjugado, pero es en efecto reales si se utiliza la definición estándar $\bar{z} = x-iy$.
La propiedad de un conjugado es que el argumento de la conjugado es el inverso aditivo del argumento de la original. Si $z$ es de 30 grados en sentido horario desde el eje real, a continuación, $\bar z$ es de 30 grados en sentido antihorario. El resultado de esto es que cuando se multiplican los números juntos, se obtiene un número real, porque los argumentos cancelar. (Como usted probablemente sabe, la multiplicación de los números complejos los resultados además de los argumentos.)
Otra cosa buena acerca de la conjugada es que, básicamente, desaparece cuando restringimos a los números reales. El conjugado de un real, es sólo que real. Así, en algunos casos, $z\bar z$ es una extensión de $z^2$ en el de los números complejos. Por ejemplo, la distancia desde el origen es $\sqrt{z^2}$ si $z$ es real, pero podemos generalizar como $\sqrt{z\bar z}$ en el de los números complejos. Se "especializa" a $\sqrt{z^2}$.
Agradable, sencillo, cosas como esta ruptura si usted trata de encontrar algún otro concepto por el complejo conjugado.
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