Morandi del Campo y de la Teoría de Galois, el ejercicio 5.19 b
Deje $K$ $L$ ser extensiones de Galois de $F$. La restricción de la función de mapa, es decir, $\sigma\mapsto(\sigma\vert_K,\sigma\vert_L)$ induce un inyectiva grupo homomorphism $\varphi\colon\operatorname{Gal}(KL/F)\to\operatorname{Gal}(K/F)\times\operatorname{Gal}(L/F)$. Mostrar que $\varphi$ es surjective si y sólo si $K\cap L=F$.
No es difícil mostrar que $\varphi$ es un monomorphism. Si es surjective, no es difícil mostrar que $K\cap L=F$ como sigue:
Fix $\alpha\in K\cap L$, vamos a $\beta$ ser una raíz del polinomio mínimo de a$\alpha$$F$. Desde $K,L$ son normales, $\beta\in K\cap L$. Por isomorfismo extensión del teorema, podemos optar $\tau_1\in\operatorname{Gal}(K/F)$ tal que $\tau_1(\alpha)=\beta$. Para surjectivity del mapa, hay $\sigma$ tal que $\sigma\vert_K=\tau_1$$\sigma_L=\mathrm{id}$, lo que obliga $\alpha=\beta$, por lo $\alpha\in F$, ya que el $K,L$ son separables sobre $F$.
Lo contrario parece difícil. No puedo demostrar que cuando $K,L$ son arbitrarias extensiones de Galois. Si ambos están finito dimensional, la declaración de la siguiente naturales de la irracionalidad: $\operatorname{Gal}(KL/L)\cong\operatorname{Gal}(K/K\cap L)$, lo que implica que $[KL:L]=[K:K\cap L]=[K:F]$, por lo $[KL:F]=[K:F][L:F]$, y tenga en cuenta que $\varphi$ es inyectiva, por lo tanto surjective.
Alguna ayuda? Gracias!
