Lattice-Theoreem Interpretación del Teorema Fundamental de la Aritmética

Question

Cuando se trata de equipar $\mathbb{N}^\ast=\mathbb{N}\setminus \{0\}$ con la relación de divisibilidad, se forma una red con un mínimo de 1, supremum dado por el mínimo común múltiplo, y infimum dado por el máximo común divisor.

Esto parece motivar a la formulación del Teorema Fundamental de la Aritmética en términos del entramado teórico de las propiedades de $\mathbb{N}^\ast$ anterior.

Por ejemplo, los átomos de $\mathbb{N}^\ast$ son precisamente los números primos, sino $\mathbb{N}^\ast$ no está atomizada porque el primer potencias con exponente mayor que 1 no son la suprema de un conjunto de átomos.

El conjunto $I_p=\{p^n \mid n\in\mathbb{N}\}$ es el ideal para cada uno de los prime $p$, pero no es un alojamiento ideal, porque no es el caso que si $x\wedge y\in I_p$, $x\in I_p$ o $y\in I_p$ (por ejemplo, tome $x=q_1p$ $y=q_2p$ donde $q_1$ $q_2$ son distintos de los números primos desigual a $p$). Del mismo modo, $I_p$ no es un ideal maximal porque $I_p'=\{qp^n \mid \text{$n\in \mathbb{N}$, $p$ prime or 1}\}$ es un buen ideal de $\mathbb{N}^\ast$ que contiene $I_p$.

Me parece entonces que el Teorema Fundamental de la Aritmética puede ser escrito como

Cada número natural mayor que 0 es un supremum de elementos extraídos de los ideales $I_p$ $p$ prime.

Sin embargo, siento la esperanza de que no es una bonita formulación del teorema fundamental de la aritmética en términos del entramado teórico de las propiedades de $\mathbb{N}^\ast$ como se describió anteriormente. Por lo tanto, mi pregunta es: ¿existe una forma más elegante de la formulación del Teorema Fundamental de la Aritmética en términos del entramado teórico de las propiedades de $\mathbb{N}^\ast$ de la formulación dada de arriba?

Yo también era incapaz de incorporar la singularidad estado aquí, pero como el Azul señala, esto es debido a que se trata de un entramado, no siendo suficiente.

Answer 1

Para un dominio $D$, vamos a $D^\times$ el grupo de unidades y denotan $D^\bullet:=D\setminus\{0\}$. A continuación, el monoid $D^\bullet/D^\times$ es ordenado por la divisibilidad, y codifica los asociados de las clases de conjuntos de elementos que se asocian, es decir, igual a la multiplicación por unidades) de $D$.

Los átomos en $D^\bullet/D^\times$ corresponden a (asociados clases de) irreductible elementos en $D$, no de los números primos, pero un poco de álgebra conmutativa elimina la distinción (lógicamente, no conceptualmente) por lo que hemos planeado. Específicamente, como $D$ es MCD iff $D^\bullet/D^\times$ es de celosía-ordenó y $D$ es FFD iff $D^\bullet/D^\times$ es localmente finito (tanto esencialmente por definición), podemos emplear la siguiente lema:

$\quad$ Lema. $~$ Dominio $D$ es un UFD $\iff D$ es DPC y atómica.

Ahora podemos concluir lo siguiente fin de la teoría de la caracterización de la única factorización:

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$\quad \sf \color{Blue}{Theorem}.~$ Dominio $D$ es un UFD $\iff$ $D^\bullet/D^\times$ es un localmente finito de celosía.

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Tenga en cuenta que la factorización en números primos (los elementos de $p$ tal que $p\mid ab\Rightarrow p\mid b$ o $p\mid b$) es siempre única hasta el fin y la multiplicidad, el único problema es que a veces elementos no tienen factorizations en números primos. Por otro lado, muchos (no todos) de los dominios siempre han factorizations en elementos irreductibles, por ejemplo, el número de anillos o dominios de Dedekind, pero no únicamente. Los números primos son irreductibles, pero no a la inversa en general. En la presencia de la DPC de la propiedad, todos los números primos son irreductibles.

La prueba del lema. ($\Rightarrow$) Supongamos $D$ es un UFD. A continuación, cada elemento es factorable en los números primos, que son irreductibles. Todos los asociados de la clase de elemento que pueda ser identificado con un conjunto múltiple de los números primos (de la correspondencia está dada por factorización en una dirección y la multiplicación en el otro). El mcd y mcm de dos elementos puede ser calculada como la intersección o unión de multisets según corresponda, o por tomar mínimos en el primer exponentes en su primer factorizations. ($\Leftarrow$) Supongamos $D$ es un MCD de dominio y $p\in D$ es primo. Supongamos $p=ab$ es reducible con $a,b$ nonunits. A continuación, $p\mid a$ o $p\mid b$ por primalidad, wlog $p\mid a$, lo $a=pc\Rightarrow p=ab=pbc\Rightarrow 1=bc$ nos dice $b$ es una unidad, una contradicción, por lo tanto, todos los números primos son irreductibles. Si $D$ es atómica, entonces todos los elementos admite una factorización en irreducibles que es una factorización en números primos, que es necesariamente única.

La prueba de $D$ FFD $\Leftrightarrow D^\bullet/D^\times$ localmente finito: un poset $P$ con el menor elemento de a $l$ es localmente finito (todos los intervalos $[a,b]$ son finitos) iff los intervalos de $[l,b]$ son todos finitos.

La prueba del teorema. Si $D^\bullet/D^\times$ es un localmente finito de celosía, a continuación, $D$ es un FFD y un MCD. Si $D$ es un FFD entonces es atómica, así atómica+MCD implican $D$ es un UFD. Por el contrario si $D$ es un UFD, entonces es por lo tanto MCD $D^\bullet/D^\times$ es una celosía, y es un FFD, ya que los números primos son irreductibles y cualquier divisor de un elemento debe tener factorización en el mismo primos como que solo elemento con igual o menor, de multiplicidades.

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$\quad\sf\color{Blue}{Definitions}$:

Un conjunto parcialmente ordenado es un entramado cada dos elementos tienen un mínimo de límite superior y mayor límite inferior. Es atómico si cada elemento es mayor que en el átomo. A es un átomo de un elemento que cubre por lo menos un elemento. Por lo menos un elemento es un único mínimo elemento. Un mínimo elemento es uno que no tiene elementos por debajo de ella. Un elemento que cubre a la otra si es más grande que la otra y no hay elementos entre ellos. Un poset es localmente finito si cada intervalo finito. Un intervalo es la colección de todos los elementos entre los dos.

Un anillo de $D$ es un dominio si es conmutativa y unital (tiene un inverso multiplicativo $1\in D$) y no tiene divisores de cero (elementos $a,b$ tal que $ab=0$). Los dominios de anulación, que es $ax=bx$ siempre implica $x=0$ o $a=b$. Una unidad es un multiplicatively elemento invertible. Un elemento que se llama reducible si es el producto de dos nonunits, otra cosa es irreducible. Un elemento es primo si siempre que divide a un producto de elementos, divide uno de los factores.

Un dominio $D$ es una única factorización de dominio, abreviado UFD, si todos los elementos tienen factorizations en números primos. Un dominio $D$ es un MCD de dominio si dos elementos tienen un máximo común divisor (con la divisibilidad de la orden) hasta la multiplicación por unidades. Dos elementos asociados si uno es el de otros tiempos una unidad. Un dominio $D$ es llamado un número finito de la factorización de dominio (FFD) si cada elemento tiene un número finito de divisores de cuenta de la asociación.