Si alguien pudiera darme un ejemplo de espacio polaco, en el que el interior de cada conjunto compacto está vacío? Supongo que es trivial, pero no puede encontrar un ejemplo.
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Reto Meier
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Considerar los números irracionales con el estándar de la topología. Sin embargo consideramos un espacio homeomórficos a ellos:
El espacio de Baire, es decir, $\omega^\omega$ - todas las secuencias infinitas de números naturales. Es un espacio métrico dotado de la métrica:
$$d(x,y) = \begin{cases} 2^{-n} & n=\min\{k\in\omega\mid x(k)\neq y(k)\}\\ 0 & x=y\end{cases}$$
Es decir, nos cuentan cómo es la longitud del segmento inicial que es el mismo para las dos secuencias. Si difieren, debe haber por lo menos un entero como en el anterior, si no difieren son el mismo punto.
El basic abrir sets van a ser definidos por finito de secuencias. Para cada una de las $s=\langle x_1,\ldots,x_n\rangle$, una secuencia finita de números naturales, considere la posibilidad de $O_s$ como el conjunto de todas las secuencias de $x$ tal que $x(k)=s(k)$ todos los $k<n+1$ $s$ es de un número finito de segmentos iniciales de $x$.
De hecho esta es una clopen conjunto, y la colección de todos los $O_s$ formar una contables base de clopen conjuntos.
Ahora supongamos $X\subseteq\omega^\omega$ era compacto, por cada $n$ deje $U_n$ ser finito subcover de $X$ tomado de $\{O_s\mid \operatorname{Length}(s)=n\}$.
Supongamos por contradicción que $X$ contiene algunas conjunto abierto, sin pérdida de generalidad es de $O_s$ que es un básico de conjunto abierto. Supongamos $k$ es la longitud de $s$. Puesto que el $k+1$ nivel puede ser cubierto por un número finito de open básica de conjuntos, existe alguna $m$ $t=\langle s\rangle^\smallfrown\langle m\rangle$ (que es un final de extensión de $s$ por el valor de $m$) no $O_t\in U_{k+1}$.
En particular, por los $x$ que ha $t$ como un buen segmento inicial, a continuación, $x\notin X$ $s$ es un segmento inicial de $t$, por lo que de $x$. Esta en la contradicción de que $O_s\subseteq X$.
Por lo tanto, si $X$ es compacto, no contiene cualquier conjunto abierto.
Tenga en cuenta que esto no implica que los conjuntos compactos en el espacio de Baire son finitos, sino que para cada $n\in\omega$, $\{x(n)\mid x\in X\}$ es un conjunto finito. Un ejemplo muy bueno es el espacio de Cantor, que es un subespacio del espacio de Baire dado por $\{0,1\}^\omega$.
Un muy bonito teorema establece que si $X$ es un espacio polaco, cero dimensional y cada conjunto compacto tiene un vacío interior, a continuación,$X\cong\omega^\omega$. Esto significa que en la clase de cero dimensiones polaco espacios, sólo hay un representante (hasta homeomorphism, por supuesto), que es bastante la propiedad, si usted me pregunta.
