Ejercicio compacto local

Question

Deje $X$ ser un Hausdorff localmente compacto en $x \in X$. Demostrar que para cada abierto nbd $U$ $x$ existe un abierto nbd $V$ $x$ tal que $\overline{V}$ es compacto y $\overline{V} \subset U$.

Mi trabajo:

Desde $X$ es de Hausdorff localmente compacto, a continuación, $X$ es regular. Deje $U$ libre nbd de $x$. Por supuesto, $X$ es localmente compacto, entonces existe algún abierto nbd $W$ $x$ tal que $\overline{W}$ es compacto. Ahora consideremos el conjunto abierto $W \cap U$ esto es no vacío desde $x$ se encuentra en la intersección. Por la regularidad de encontrar un conjunto abierto $V$ tal forma que:

$x\in V \subset \overline{V} \subset W \cap U$

A continuación, en particular,$\overline{V} \subset U$. Pero también se $\overline{V} \subset W \subset \overline{W}$. Desde $\overline{W}$ es compacto, a continuación, $\overline{V}$ es un subconjunto cerrado de un conjunto compacto, por lo tanto compacto.

Es el de arriba OK? Gracias.

Answer 1

Como ya he comentado con respecto a la validez de la prueba, vamos a mencionar un par de interesantes ejercicios relevantes:

Ejercicio 1: Si $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio, a continuación, probar que $X$ es completamente regular, es decir, probar que para cada punto de $x\in X$ y cada conjunto cerrado $C$$x\not\in C$, existe una función continua $F:X\to [0,1]$ tal que $F(x)=0$$F(C)=\{1\}$. (Sugerencia: examine la prueba de Urysohn del lema cuidadosamente).

Ejercicio 2: Si $X$ es localmente compacto Hausdorff espacio y $\{\infty\}$ es un singleton conjunto discontinuo de $X$, a continuación, defina $Y=X\cup \{\infty\}$. Además, definir una topología en $Y$ por el dictado de los siguientes subconjuntos de a $Y$ abrir:

(1) Si $U\subseteq X$ está abierto en $X$, $U$ está abierto en $Y$.

(2) Si $V=U\cup \{\infty\}$ donde $U$ está abierto en $X$ $X\setminus U$ es un subconjunto compacto de $X$, $V$ está abierto en $Y$.

(a) Probar que $Y$ es un espacio topológico.

(b) Demostrar que $Y$ es compacto Hausdorff. (Sugerencia: para demostrar que $Y$ es Hausdorff, usted necesitará local compacidad y para demostrar que $Y$ es compacto, usted necesita pensar sobre el papel desempeñado por $\infty$ en el espacio topológico $Y$.)

(c) Si $X=\mathbb{N}$ con la topología discreta, entonces demostrar que $Y$ es homeomórficos a $\{0\}\cup \{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$.

(d) Si $X=\mathbb{R}^n$ con el estándar de la topología, a continuación, probar que $Y$ es homeomórficos a la esfera $S^n\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$.

Espero que estos ejercicios son útiles!

Answer 2

Solución. Sea$U$ un nbd arbitrario de$x$. Por definición, existe el conjunto compacto$C\subset X$ con un nbd$W$ de$x$ tal que$W\subset C$. Ahora ponga$Y=C\setminus \left( U\cap W\right) $. Dado que$C$ está cerrado ($X$ es Hausdorff), entonces$Y=C\setminus U\cap W$ también debe ser subconjunto cerrado de$C$. Por lo tanto,$Y$ es compacto. Además, $x\notin Y$. Debido al lema citado anteriormente, hay dos conjuntos abiertos disjuntos$O_{1}$ y$O_{2}$ tales que$x\in O_{1}$,$Y\subset O_{2}$. Ahora si ponemos$V=O_{1}\cap U\cap W$, entonces$V$ basta con las propiedades deseadas.$\Box $

Answer 3

Sólo voy a señalar que con el hecho de que $X$ es regular, es un poco exagerado. Aquí es un simple hecho, que es adecuado aquí:

Lema. Si $X$ es Hausdorff, $x \in X$, e $K \subset X$ es compacto, entonces existen abiertos disjuntos barrios de $x$$K$.

Prueba. Ejercicio.

Ahora, para tu problema, supongamos, sin pérdida de generalidad que $U$ es precompact. (De lo contrario, reemplace $U$ por su intersección con una precompact barrio de $x$.) A continuación, el límite de $\partial U$ es compacto. Deje $V,W$ ser distinto, abierto en los barrios de $x$, $\partial U$. Es fácil comprobar que $V \cap U$ tiene la propiedad deseada. (Dibujo de una imagen puede ayudar).