Apenas hemos comenzado a discutir continua distribuciones en mi probabilidad de clase y me he encontrado con este interesante distribución que no estoy seguro de cómo integrar. Deje $c$ ser una constante y deje $X$ ser una variable aleatoria con distribución $f(x)=ce^{-x^2-x}$. Encontrar $c$.
Por definición, queremos encontrar a $c$ tal que $\int_{-\infty}^\infty ce^{-x^2-x} dx=1 $. Sin embargo no estoy seguro de cómo integrar la $e^{-x^2-x}$ plazo. Yo la primera división el producto de tal manera que tenemos $$c\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-x} dx $$ y luego trató de integración por partes con $u=e^{-x^2}$ pero no resultar fructífero. Luego he intentado usar $u=e^{-x}$. Sabemos que $\int e^{-x^2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(x)$. Si hacemos las partes, nos encontramos con algo como \begin{align*} c\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{-x} dx = e^{-x}\frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(x)\bigg\vert_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^\infty \frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(x)\left(-e^{-x}\right) dx \end{align*} que no me lleve a nada. Me siento como que hay un método obvio de que me estoy perdiendo. He evaluado la integral en wolfram alpha y $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2-x} dx= \sqrt[4]{e}\sqrt{\pi}$ y la presencia de la pi plazo me dice que yo debería tratar de convertir a coordenadas polares primera pero eso no fue fructífera. Cualquier ayuda es muy apreciada.
