Para evitar mezclar las cosas, he querido recopilar las propiedades de un polinomio anillo es la herencia de la coeficiente de anillo y lo que la propiedad implica la otra.
Deje $R$ ser un anillo (lo que más necesito en este punto, por lo $1$, conmutativa, etc. -- nuestro maestro es de alguna manera no prestar demasiada atención en estos detalles).
A. es $R^*=R[X]^*$ fib $R$ es un campo. Por qué? ¿Qué acerca de la $R[X][Y]^*=R[X,Y]^*=?$
B. $R$ factorial (o $R$ campo) $\implies$ $R[X]$ es factorial $\implies$ $R[X,Y]$ es factorial
C. Digerido jerarquía de propiedades:
campo
euclidiana anillo (que falta ? a un campo?)
director de ideal de dominio (no euclidiana función existe -- significado intuitivo?)
factorial anillo único de la factorización de dominio (no todo ideal es principal ideal-significado intuitivo?)
integral de dominio (no hay una única factorización de elementos)
anillo conmutativo
anillo (no conmutativa)
Dónde insertar la división de anillo, de modo que la existencia de inversos para cada $a\in R\setminus\{0\}$? Me falta la intuición acerca de estos términos, así que ¿por qué está claro, que un director ideal de dominio es una parte integral de dominio? Es sólo mi maestro ser descuidado y en realidad un director ideal de dominio se define como un factorial anillo donde cada ideal es un director ideal y así sucesivamente? Ya que en mi definición sólo dice que "un anillo conmutativo, con 1, donde cada ideal es un director ideal, es una de las principales ideales de dominio".
D.Ejemplo. Deje $R = \mathbb{Q}[X,Y]$.
Desde $\mathbb{Q}$ es un campo, se deduce, que el $R$ es factorial. Por lo tanto (bajando la mencionada jerarquía) $R$ es una integral de dominio, un conmutativa anillo, un anillo. Es un anillo de división?
Supongo que es $R[X,Y]^*=R^*=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$.
Mi idea es que el $R$ es un director ideal de dominio, pero no he encontrado una muy rigurosa argumento. Creo que hay básicamente sólo el trivial ideales en $R$, y para el trivial de los ideales es claro, que ellos son los principales ideales desde $R=R1$$\{0\}=R\{0\}$.
No sé cómo decidir en euclidiana y de campo. Sólo mi intuición es, que no puedo división con resto y, por tanto, $R$ no debería ser un anillo euclidiano y por lo tanto no es un campo. Pero la manera de "mostrar" que no puede haber un euclidiana de la función en $R$? (Y es que hay una manera directa de argumentar que $R$, no es un campo?).
