I) Sólo por diversión generalicemos la pregunta del OP a $n$ y comprobar cómo funciona el recuento de ecuaciones y grados de libertad (d.o.f.) en este entorno general. Utilizaremos la respuesta de Lubos Motl como plantilla para esta parte. También utilizaremos una teoría relativista especial $(-,+,\ldots,+)$ con $c=1$ donde $\mu,\nu\in\{0,\ldots,n-1\}$ denotan índices espaciotemporales, mientras que $i,j \in\{1,\ldots,n-1\}$ denotan índices espaciales. Ecs. de Maxwell son las siguientes.
-
Identidades Bianchi sin fuente: $${\rm d}F~=~0 \qquad\qquad \Leftrightarrow \qquad\qquad \sum_{\rm cycl.~\mu,\nu,\lambda} d_{\lambda} F_{\mu\nu} ~=~0, \qquad\qquad F~:=~\frac{1}{2} F_{\mu\nu}~ {\rm d}x^{\mu} \wedge {\rm d}x^{\nu}.$$ Aquí $$\left(\begin{array}{c} n \cr 3\end{array}\right) {\rm~Bianchi~identities} ~=~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 3\end{array}\right) {\rm~constraints}~+~ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right) {\rm~dynamical~eqs.} $$ $$~=~ ({\rm No~magnetic~monopole~eqs.})~+~ ({\rm Faraday's~law}). $$
-
Ecuaciones de Maxwell con términos fuente: $$ d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~-j^{\nu} .$$ Aquí $$n {\rm~source~eqs.}~=~1 {\rm~constraint} ~+~ (n-1) {\rm~dynamical~eqs.}$$ $$~=~({\rm Gauss'~law}) ~+~ ({\rm Ampere's~law~with~displacement~term}).$$
Hemos utilizado la terminología ecuación dinámica contiene derivadas temporales, mientras que a restricción no lo hace. Así que el número de eqs. dinámicas es
$$ \left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right)~+~(n-1)~=~ \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right),$$
que coincide exactamente con
$${\rm the~number~} \left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right) {\rm~of~} F_{\mu\nu} {\rm~fields}$$ $$~=~\left(\begin{array}{c} n-1 \cr 2\end{array}\right){~\rm magnetic~fields~} F_{ij} ~+~(n-1) {\rm~electric~fields~}F_{i0} .$$
Las ecs. de Maxwell con términos fuente implican la ec. de continuidad.
$$ d_{\nu}j^{\nu} ~=~-d_{\nu}d_{\mu}F^{\mu\nu}~=~0,\qquad\qquad F^{\mu\nu}~=~-F^{\nu\mu},$$
por lo que hay que exigir que las fuentes de fondo $j^{\nu}$ obedecen a la ec. de continuidad.
Por coherencia, la derivada temporal de cada una de las restricciones debe desaparecer. En el caso de las ecuaciones no-magnético-monopolar, esto se deduce de la ley de Faraday. En el caso de la ley de Gauss, se deduce de la ley de Ampere modificada y de la ecuación de continuidad.
II) En el apartado anterior (I) se hizo el recuento en función de la $\left(\begin{array}{c} n \cr 2\end{array}\right)$ intensidades de campo $F_{\mu\nu}$ . En cuanto a la $n$ potenciales gauge $A_{\mu}$ el recuento es el siguiente. Las identidades de Bianchi se cumplen ahora trivialmente,
$$F~=~{\rm d}A\qquad\qquad A~:=~A_{\mu}~ {\rm d}x^{\mu}. $$
Todavía existen los $n$ Ecuaciones de Maxwell con términos fuente
$$ (\Box\delta^{\mu}_{\nu}-d^{\mu}d_{\nu})A^{\nu}~=~-j^{\mu} , \qquad\qquad \Box~:=~d_{\mu}d^{\mu}. $$
Hay un único d.o.f. gauge debido a la simetría gauge $A \to A + {\rm d}\Lambda$ y $F \to F$ . Si uno gauge-fixes utilizando el Condición de calibre de Lorenz
$$d_{\mu}A^{\mu}~=~0, $$
las ecuaciones de Maxwell se convierten en $n$ ecuaciones de onda desacopladas
$$ \Box A^{\mu}(x)~=~-j^{\mu}(x). $$
Mediante una transformación espacial de Fourier, éstas se convierten en lineales de segundo orden desacopladas ODEs con coeficientes constantes,
$$ (d^2_t+\vec{k}^2) \hat{A}^{\mu}(t;\vec{k})~=~\hat{j}^{\mu}(t;\vec{k}) , $$
que, partiendo de un tiempo inicial $t_0$ puede resolverse para siempre $t$ cf. pregunta del OP. [Hay que comprobar que la solución
$$\hat{A}^{\mu}(t;\vec{k}) ~=~\int {\rm d} t^{\prime} ~G(t-t^{\prime};\vec{k})~\hat{j}^{\mu}(t^{\prime};\vec{k}), \qquad\qquad (d^2_t+\vec{k}^2)G(t-t^{\prime};\vec{k})~=~\delta(t-t^{\prime}),$$
satisface la condición gauge de Lorenz. Esto se deduce de la ecuación de continuidad].
III) Es interesante derivar la solución completa $\tilde{A}^{\mu}(k)$ en $k^{\nu}$ -espacio momentum sans fijación de gálibo. Las ecuaciones de Maxwell transformadas en Fourier son las siguientes
$$M^{\mu}{}_{\nu}~\tilde{A}^{\nu}(k)~=~\tilde{j}^{\mu}(k), \qquad\qquad M^{\mu}{}_{\nu}~:=~k^2\delta^{\mu}_{\nu} -k^{\mu}k_{\nu}. $$
Para proceder hay que analizar la matriz $M^{\mu}{}_{\nu}$ para fijo $k^{\lambda}$ . Hay tres casos.
-
Modo constante $k^{\mu}=0$ . Entonces la matriz $M^{\mu}{}_{\nu}=0$ desaparece idénticamente. Las ecs. de Maxwell sólo se pueden satisfacer si $\tilde{j}^{\mu}(k=0)=0$ es cero. El potencial gauge $\tilde{A}_{\mu}(k=0)$ no está restringida en absoluto por las eqs. de Maxwell, es decir, existe una completa $n$ -parámetro solución.
-
Caso masivo $k^2\neq 0$ . La matriz $M^{\mu}{}_{\nu}$ es diagonalizable con valor propio $k^2$ (con multiplicidad $n-1$ ), y el valor propio $0$ (con multiplicidad $1$ ). Este último corresponde a un modo gauge puro $\tilde{A}^{\mu}~\propto~k^{\mu}$ . La solución completa es un $1$ -solución de parámetros de la forma $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~\frac{\tilde{j}^{\mu}(k)}{k^2}~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k).$$ Aparte del término fuente, esto es puro calibre.
-
Caso sin masa $k^2=0$ y $k^{\mu}\neq 0$ . La matriz $M^{\mu}{}_{\nu}$ es no diagonalizable. Sólo hay un valor propio $0$ (con multiplicidad $n-1$ ). Sólo es posible satisfacer las ecs. de Maxwell si la fuente $\tilde{j}^{\mu}(k)=\tilde{f}(k)k^{\mu}$ es proporcional a $k^{\mu}$ con algún factor de proporcionalidad $\tilde{f}(k)$ . En ese caso las eqs. de Maxwell se convierten en $$ -k_{\mu}\tilde{A}^{\mu}(k)~=~\tilde{f}(k). $$ Introduzcamos un $\eta$ -vector dual $^1$ $$k^{\mu}_{\eta}~:=~(-k^0,\vec{k})\qquad {\rm for}\qquad k^{\mu}~=~(k^0,\vec{k}).$$ Tenga en cuenta que $$k_{\mu}~k^{\mu}_{\eta}~=~(k^0)^2+\vec{k}^2$$ no es más que el cuadrado de la distancia euclidiana en $k^{\mu}$ -espacio momentum. La solución completa es un $(n-1)$ -solución de parámetros de la forma $$\tilde{A}^{\mu}(k) ~=~-\frac{k^{\mu}_{\eta}}{k_{\nu}~k^{\nu}_{\eta}}\tilde{f}(k) ~+~ik^{\mu}\tilde{\Lambda}(k)~+~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k).$$ El término proporcional a $k_{\mu}$ es calibre puro. Aquí $\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)$ denotan $n-2$ modos transversales, $$k_{\mu}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0, \qquad\qquad k_{\mu}^{\eta}~\tilde{A}^{\mu}_{T}(k)~=~0. $$ En $n-2$ modos transversales $\tilde{A}^{\mu}_{T}$ son los únicos d.o.f. físicos que se propagan (ondas electromagnéticas, campo de fotones).
--
$^1$ Longitudinal y temporal polarizaciones son en el caso sin masa proporcionales a $k^{\mu}\pm k^{\mu}_{\eta}$ respectivamente.
