¿Por qué se utiliza la notación multiplicativa para grupos (en lugar de aditivo)?

Question

En los documentos relativos a la teoría de grupo parece ser común el uso de una notación multiplicativa para representar el grupo de operación. Por ejemplo, estoy leyendo Herstein "Temas de Álgebra" y buscando algunos consejos sobre espacios vectoriales en la sección de grupos. En el espacio vectorial sección el grupo de operación de la combinación de los vectores es (bastante lógicamente), representada como la suma ($v = v_1 + v_2$), pero cuando me cambie a través de la sección de grupos es la multiplicación ($c = ab$).

Además de encontrar el interruptor de la notación ineficiente, siento que el aditivo notación es una mejor analogía con el real aritmética: todos los elementos del grupo tiene un inverso como se hace con la suma, mientras que la notación multiplicativa lleva a una falsa sugerencia de que puede haber un "0" que no tiene inversa.

Así que, ¿me he perdido algo: ¿hay alguna razón por la que la notación multiplicativa es preferible ?

Answer 1

Usted seguramente sabe que muchos grupos no conmutativos. Debido a esto, un aditivo de la notación traería confusión en no abelian contexto.

Pensar grupo de invertir matrices $\mathrm{GL}(\mathbf{K},n)$ sobre un campo $\mathbf{K}$: este es un grupo en la multiplicación de la matriz: no sería bastante difícil pensar $A+B$ como resultado de $A\cdot B$, sabiendo que puede ser muy diferente de la de $B+A$?

Inverse elementos son también otro hecho. En general, se puede demostrar que para un grupo de $G$ si $x,y\in G$$(xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1}$. Imagina esto en notación aditiva: $$ -(x+y)=-y - x$$ and that would be DIFFERENT from $$-x-y=-(y+x)$$

Answer 2

En general, la notación multiplicativa se utiliza para la operación en cualquier grupo, aditivo y la notación es reservado para el funcionamiento en Abelian (propiedad conmutativa de los grupos). Para algunos la intuición en este, el grupo lineal general $GL_n(\mathbb R)$ es el conjunto de todos los invertible $n\times n$ matrices, con la operación de multiplicación de matrices. Si $A,B\in GL_n(\mathbb R)$ entonces podemos denotar su producto $AB$ o $BA$ (tenga en cuenta que estos no son iguales en general!). Si tenemos en cuenta $\mathbb R^n$ como un espacio vectorial, entonces es un grupo Abelian bajo, además - lo si $x,y\in\mathbb R^n$ luego de escribir la suma como $x+y$ o $y+x$ (y de hecho, estas son iguales).

Answer 3

Deje $(G,\star)$ ser un grupo con $x\in G$. Supongamos que usted desea escribir $x \star x \star \cdots \star x$ ($n$ veces).

¿Cómo se escribe con la notación multiplicativa? $x^n$.

¿Cómo se escribe con el aditivo de la notación? No se puede decir $nx$ o $xn$. Usted tiene que usar un torpe de la construcción como $\sum_{i = 1}^n x$.

Ahora vamos a suponer que estamos trabajando sobre un espacio vectorial con escalares en $\mathbb{R}$. ¿Cómo podemos escribir ahora? Nosotros solo uso $nx$. En contextos donde existe una definición razonable a $nx$, generalmente el aditivo se utiliza la notación.

Agregar esto al hecho de que $+$ es usado para significar una abelian grupos.