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¿Cómo puedo probar que no hay un conjunto conteniéndose sin usar axioma de fundación?

Ya he encontrado algunas preguntas similares aquí (y otros sitios), pero en la mayoría de los casos, el uso del axioma de la fundación se requiere para completar la prueba. ¿Hay alguna manera de probar$\not\exists x(x\in x)$, sin usar el axioma?

Gracias de antemano.

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DanV Puntos 281

No puedes.

Es consistente que el axioma de fundación falla, y hay conjuntos de la forma$x=\{x\}$. Más generalmente hay "Axiomas Anti-Fundación" que afirman la existencia de conjuntos mal fundados. Las más famosas son de Boffa y de Azcel.

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