Vamos$x,y,z> -1$, entonces ¿cómo podemos encontrar el mínimo de esta función$$f(x,y,z)=\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}$ $ Creo que podemos utilizar un famoso inquality pero no puedo encontrarlo.
Así que gracias
Respuesta
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Por cada$t\in\mathbb{R}$, tenemos$$t\le\frac{1+t^2}{2}$ $ así$$\frac{1+x^2}{1+y+z^2}\ge\frac{1+x^2}{1+z^2+\frac{1+y^2}{2}}$ $$$\frac{1+y^2}{1+z+x^2}\ge\frac{1+y^2}{1+x^2+\frac{1+z^2}{2}}$ $$$\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge\frac{1+z^2}{1+y^2+\frac{1+x^2}{2}}$, So$a=1+x^2$ $ Por aplicación de la desigualdad de Cauchy, tenemos$b=1+y^2$ $ así$c=1+z^2$ $ finally$$f(x,y,z)\ge \frac{2a}{2c+b}+\frac{2b}{2a+c}+\frac{2c}{2b+a}$ $
Nota
Si$$\left(\frac{2a}{2c+b}+\frac{2b}{2a+c}+\frac{2c}{2b+a}\right)\left[\,a(2c+b)+b(2a+c)+c(2b+a)\,\right]\ge 2(a+b+c)^2$ y$$\left(\frac{2a}{2c+b}+\frac{2b}{2a+c}+\frac{2c}{2b+a}\right)\ge \frac{2(a+b+c)^2}{3ab+3bc+3ac}\ge 2$ entonces$$\color{red}{f(x,y,z)\ge 2}$ $ y$u=\left(\sqrt{\frac{a}{2c+b}}\ ,\, \sqrt{\frac{b}{2a+c}}\, ,\,\sqrt{\frac{c}{2b+a}}\right)$ $
