Límite

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No puedo entender por qué el límite es igual a$$\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^4}{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^3}$ porque tomo el límite de un cociente como el cociente de sus límites.

Estoy tomando que$\dfrac{4}{3}$ y asimismo que$\lim_{n \rightarrow \infty}1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^4 = 0$, que todavía me da que el límite debe ser 0.

Ha sido un tiempo desde que he hecho los límites y necesita un poco de ayuda para volver a ella, gracias!

Answer 1

Si amplía los binomios, obtiene$\dfrac{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^4}{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^3}=\dfrac{1-\left(1-\dfrac{4}{n}+\dfrac{6}{n^2}-\dfrac{4}{n^3}+\dfrac{1}{n^4}\right)}{1-\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)}=\dfrac{\dfrac{4}{n}-\dfrac{6}{n^2}+\dfrac{4}{n^3}-\dfrac{1}{n^4}}{\dfrac{3}{n}-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}}$. Multiplicando por$n$ en los rendimientos superior e inferior$\dfrac{4-\dfrac{6}{n}+\dfrac{4}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}}{3-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}}$. Entonces el límite es más fácil de evaluar. Cualquier término con una división por$n$ desaparecerá como$n\to \infty$.

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Answer 2

{1 \ {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}} { } \ Right) ^ 3} \ stackrel {\ mathscr {L}} {=} \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ dfrac {4 \ izquierda (1- \ dfrac {1} {n} \ Dfrac {1} {n ^ 2}} {3 \ izquierda (1- \ dfrac {1} {n} \ derecha) ^ 2 \ dfrac {1} {n ^ 2}} = \ lim_ {n \ rightarrow \ } \ Dfrac {4 \ left (1 \ dfrac {1} {n} \ right) ^ 3} {3 \ left (1- \ dfrac {1} {n} Azul} {\ dfrac {4} {3}} $$

Answer 3

Sugerencia: $\dfrac{1-x^4}{1-x^3}= \dfrac{(1-x)(1 + x + x^2 + x^3))}{(1-x)(1+x+x^2)} = \dfrac{1 + x + x^2 + x^3}{1 + x+ x^2}$ (siempre$x \neq 1$.)

Ahora ponga$x = 1 - \frac{1}{n}$ y tome$n \to \infty.$

Answer 4

Considere$$A= \dfrac{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^4}{1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^3}$$ and replace $ \ dfrac {1} {n}$ by $ x$ which will go to $ $. So $ $A= \dfrac{1-\left(1-x\right)^4}{1-\left(1-x\right)^3}$$ Now, use Taylor series $% \ dfrac {1} {n} $ si desea volver a su variable inicial.