¿Cuáles son las tres álgebras bidimensionales no isomorfas sobre $\mathbb{R}$ ?

Question

¿Cuáles son las tres $2$ -sobre $\mathbb{R}$ ?

¿Estoy en lo cierto al pensar que son
$\lbrace x+iy: x,y\in\mathbb{R},\ i^{2}=1\rbrace$ ,
$\lbrace x+jy: x,y\in\mathbb{R},\ j^{2}=-1\rbrace$ y
$\lbrace x+\varepsilon y: x,y\in\mathbb{R},\ \varepsilon^{2}=0\rbrace$ ?

Answer 1

Tienes razón, de hecho son las tres clases de isomorfismo de las álgebras reales conmutativas bidimensionales.

Sea $A$ sea un álgebra real bidimensional.

Sea $x \in A \setminus \mathbb{R}$ . Entonces, el conjunto $1,x,x^2$ deben ser linealmente dependientes, por lo que tenemos una ecuación no trivial de la forma $\lambda_1x^2+\lambda_2x+\lambda_3=0$ Tenga en cuenta que $\lambda_1 \neq 0$ como $1,x$ es linealmente independiente, ya que el subespacio generado por ella contiene adecuadamente a $\mathbb{R}$ por lo que debe ser bidimensional, es decir. $A$ . Así que después de dividir por $\lambda_1$ podemos suponer que $\lambda_1 = 1$ . Ahora completamos el cuadrado y obtenemos $0=x^2+\lambda_2x+\lambda_3 = (x+\frac{\lambda_2}{2})^2+\lambda_3-\frac{\lambda_2^2}{4}$ Ahora toma $v = x + \frac{\lambda_2}{2}$ entonces la última ecuación muestra que $v^2 \in \mathbb{R}$ . Ahora $A$ se extiende por $1,v$ (como el subespacio generado por $1,v$ contiene adecuadamente $\mathbb{R}$ por lo que es bidimensional). Si $v^2=0$ entonces tenemos claramente $A \cong \lbrace x+\varepsilon y: x,y\in\mathbb{R}, \varepsilon^{2}=0\rbrace$ si $v^2 \neq 0$ normalizar $v$ estableciendo $u= \frac{v}{\sqrt{|v^2|}}$ Ahora $u^2= \pm 1$ y tenemos $A \cong \lbrace x+iy: x,y\in\mathbb{R}, i^{2}=1\rbrace$ si $u^2=1$ y $A \cong \lbrace x+jy: x,y\in\mathbb{R}, j^{2}=-1\rbrace$ si $u^2=-1$

Esto demuestra que cualquier álgebra real bidimensional es isomorfa a una de estas tres. Para demostrar que no hay isomorfismos entre ellas, obsérvese que $\lbrace x+jy: x,y\in\mathbb{R}, j^{2}=-1\rbrace \cong \mathbb C$ es un campo, por lo que no contiene ni idempotentes no triviales ni nilpotentes no triviales. Y nótese que $ \lbrace x+\varepsilon y: x,y\in\mathbb{R}, \varepsilon^{2}=0\rbrace \cong \mathbb{R}[x]/(x^2)$ es un anillo local con ideal máximo $(\varepsilon)$ por lo que tampoco contiene idempotentes no triviales, mientras que $\lbrace x+iy: x,y\in\mathbb{R}, i^{2}=1\rbrace \cong \mathbb{R}[x]/(x^2-1) \cong \mathbb{R}[x]/(x-1) \times \mathbb{R}[x]/(x+1) \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ contiene idempotentes no triviales.