Límites: Cómo evaluar $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}}-x$

Question

¿Qué métodos se pueden utilizar para evaluar el límite de $$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[n]{x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}}-x.$$

En otras palabras, si se me da un polinomio $P(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots +a_1 x+ a_0$, ¿cómo puedo encontrar a $$\lim_{x\rightarrow\infty} P(x)^{1/n}-x.$$

Por ejemplo, ¿cómo puedo evaluar límites, tales como $$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt{x^2 +x+1}-x$$ or $$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[5]{x^5 +x^3 +99x+101}-x.$$

Este es formulada en un esfuerzo para reducir los duplicados, consulte aquí: cómo enfrentar el resumen duplicar preguntas.

y aquí: Lista de resumen de los duplicados.

Answer 1

Su límite puede ser reescrito como $$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{\sqrt[n]{1+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}}-1}{1 \over x}\right)$ $ o equivalente, $$\lim_{y\rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt[n]{1+{a_{n-1}}{y}+\cdots+{a_{0}}{y^{n}}}-1}{y}\right)$ $, por la definición de derivado, es el derivado de la función $f(y) = {\sqrt[n]{1+{a_{n-1}}{y}+\cdots+{a_{0}}{y^{n}}}}$ $y = 0$, que evalúa a través de la regla de la cadena ${a_{n-1} \over n}$.

Answer 2

Por otra parte, reescribir este límite como

$$\lim_{x\rightarrow\infty}x\left(\sqrt[n]{1+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}}-1\right).$$

Considerar la expansión de Taylor alrededor de $0$ $\sqrt[n]{1+z}$. Tenemos

$$\sqrt[n]{1+z}=1+\frac{1}{n}z+O\left(z^{2}\right).$$ Setting $ z=\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}$ we see that $z=O\left(\frac{1}{x}\right)$ y por lo tanto

$$\sqrt[n]{1+z}=1+\frac{1}{n}\left(\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}\right)+O\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=1+\frac{a_{n-1}}{n}\frac{1}{x}+O\left(\frac{1}{x^{2}}\right).$ $ Por lo tanto tenemos

$$x\left(\sqrt[n]{1+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}}-1\right)=\frac{a_{n-1}}{n}+O\left(\frac{1}{x}\right)$$

y concluimos

$$\lim_{x\rightarrow\infty}x\left(\sqrt[n]{1+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_{0}}{x^{n}}}-1\right)=\frac{a_{n-1}}{n}.$$

Answer 3

Este es un método para evaluar

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}}-x.$$

Que $Q(x)=a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ para conveniencia notational y nota $\frac{Q(x)}{x^{n-1}}\rightarrow a_{n-1}$ y $\frac{Q(x)}{x^{n}}\rightarrow0$ $x\rightarrow\infty$. El quid es la factorización $$y^{n}-z^{n}=(y-z)\left(y^{n-1}+y^{n-2}z+\cdots+yz^{n-2}+z^{n-1}\right).$ $

Ajuste del $y=\sqrt[n]{x^{n}+Q(x)}$ y $z=x$ encontramos

$$\left(\sqrt[n]{x^{n}+Q(x)}-x\right)=\frac{Q(x)}{\left(\left(\sqrt[n]{x^{n}+Q(x)}\right)^{n-1}+\left(\sqrt[n]{x^{n}+Q(x)}\right)^{n-2}x+\cdots+x^{n-1}\right)}.$$

Dividiendo numerador y denominador por $x^{n-1}$ producciones

$$\sqrt[n]{x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}}-x=\frac{Q(x)/x^{n-1}}{\left(\left(\sqrt[n]{1+\frac{Q(x)}{x^{n}}}\right)^{n-1}+\left(\sqrt[n]{1+\frac{Q(x)}{x^{n}}}\right)^{n-2}+\cdots+1\right)}.$$

$x\rightarrow\infty$, $\frac{Q(x)}{x^{n}}\rightarrow0$ Por lo que cada término del denominador converge a $1$. Puesto que hay $n$ términos encontramos $$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\left(\sqrt[n]{1+\frac{Q(x)}{x^{n}}}\right)^{n-1}+\left(\sqrt[n]{1+\frac{Q(x)}{x^{n}}}\right)^{n-2}+\cdots+1\right)=n$$ by the addition formula for limits. As the numerator converges to $ a_ {n-1} $ we see by the quotient property of limits that $% $ $\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}}-x=\frac{a_{n-1}}{n}$y la prueba haya terminado.

Answer 4

Primera nota de que $$ \sqrt[n]{{x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0 }} = \sqrt[n]{{\bigg(x + \frac{{a_{n - 1} }}{n}\bigg)^n + O(x^{n - 2} )}}. $$ Por el valor medio teorema aplicado a la función de $f(y)=y^{1/n}$ (cuya derivada es $n^{-1}y^{1/n-1}$), tenemos $$ \sqrt[n]{{\bigg(x + \frac{{a_{n - 1} }}{n}\bigg)^n + O(x^{n - 2} )}} - \sqrt[n]{{\bigg(x + \frac{{a_{n - 1} }}{n}\bigg)^n }} = (x^n )^{1/n - 1} O(x^{n - 2} ) = O(x^{ - 1} ). $$ Por lo tanto, $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [\sqrt[n]{{x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_0 }} - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \bigg[\bigg(x + \frac{{a_{n - 1} }}{n}\bigg) + O(x^{ - 1}) - x\bigg] = \frac {{{}_{n - 1}}}{n}. $$

Answer 5

Posiblemente la más elemental prueba basada en $\frac{c^{n}-d^{n}}{c-d} = \sum_{k=0}^{n-1} c^{n-1-k} d^k$. Usando esto para $c = \sqrt[n]{ x^n+ \sum_{m=0}^{n-1} a_m x^m }$ y $d=x$.

$$ c - d = \frac{c^{n}-d^{n}} c {\sum_{k=0}^{n-1} ^ {n-1-m} d ^ k} = \frac {a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ldots + a_1 x + a_0} {x ^ {n-1} \sum_{k=0}^{n-1} (\frac{c}{d})^{n-1-k}} = \frac {a_ {n-1} + a_ {n-2} x ^ {-1} + \ldots + a_0 x ^ {n-1}} {\sum_ {k = 0} ^ {n-1} (\frac{c}{d})^{n-1-k}} $$ Ahora $\lim_{x\to \infty} \frac{c}{d} = \lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{ 1 + \frac{a_{n-1}}{x} + \ldots + \frac{a_0}{x^n} } = 1$. Esto da $\frac{a_{n-1}}{n}$.