¿Todas las funciones impares tienen ceros simétricos?

Question

¿Hay funciones impares donde un cero del eje x positivo no tiene necesariamente un simétrico?

Lo que quiero decir es, considerar una función impar donde sus ceros positivos son x = 1, x = 2, x = 3. Ya que es raro, tiene una simetría relacionadas con origen del referencial, por lo que también existen los ceros x =-1, x =-2, x =-3. ¿Pero es posible que una función impar con x = 1, x = 2, x = 3, x =-1 y x =-2? Donde x = 3 no tiene un simétrico.

Answer 1

Se ha corregir funciones impares, $f(a) = 0 \iff f(-a) = 0$. Que llamamos $f$ impar si $f(-x) = -f(x)$, así que si $f(a) = 0$, entonces el $f(-a) = -f(a) = 0$.

Answer 2

Si una función impar existe en $x=a$ y en $x=-a$ y si se tiene un cero en uno de ellos, entonces necesariamente tiene uno en su contraparte simétrica desde $f(-a)=-f(a)$, por definición, de extraño.

La única manera de hacer que esto vaya mal, es que si $f$ sería definido en sólo uno de esos puntos. Esto es algo que usted puede o no puede (quiere) permitir una función impar.

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Lo que quiero decir es, considerar una función odd donde su positivo ceros son x=1, x=2, x=3. Ya es raro, tiene una simetría relacionados con el origen de referencial, por lo que hay también los ceros x=-1, x=-2, x=-3. Pero, ¿es posible tener una función odd con x=1,x=2,x=3, x=-1 y x=-2? Donde x=3 no tiene un simétrico.

Con la habitual entendimiento (definición) de extraño, usted no puede tener la situación que usted describe. Llamamos a una función impar si $f(-x)=-f(x)$ "para todos los $x$", pero esto sólo tiene sentido si para cada a $x$ en el dominio de $f$, que también ha $-x$ en ese dominio.

Esto significa que estamos considerando sólo las funciones definidas en $\mathbb{R}$ o con un dominio que es simétrica con respecto al origen, tales como los intervalos de la forma$[-a,a]$,$a \in \mathbb{R}$.

Tomemos, por ejemplo, el impar, la función que tiene (al menos) los ceros se describen: $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto (x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)$$ Usted puede limitar el dominio de una relación asimétrica de intervalo, como $\left[ -2.5, 3.5 \right]$: $$g : \left[ -2.5, 3.5 \right] \to \mathbb{R} : x \mapsto (x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)$$ Ahora esta función $g$ tiene un cero en $x=3$ sin una contraparte simétrica, ya que no está definido en $x=-3$. Si o no usted todavía podría llamar a esta función impar depende de la definición: ¿se requiere el dominio de la forma específica como se describió anteriormente o no?

Answer 3

Cumple con una función impar $f $ $f (-x)=-f (x) $, así que si $3$ es un cero de $f$, $f (-3)=-f (3)=-0=0$. Esto funciona para cualquier cero, así que sí, los ceros son simétricos.